高中数学 第3章 三角恒等变形章末综合提升（教师用书）教案 北师大版必修4-北师大版高二必修4数学教案VIP专享VIP免费

第3章三角恒等变形[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]三角函数的求值问题【例1】已知tan＝－，且<α<π，求的值．[解]＝＝2cosα. tan＝＝－，∴tanα＝－3， α∈，∴cosα＝－，∴＝2cosα＝2×＝－.三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．1．已知0<α<，0<β<，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．[解] 3sinβ＝sin(2α＋β)，即3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，整理得2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.即tan(α＋β)＝2tanα.又 4tan＝1－tan2，∴tanα＝＝，tan(α＋β)＝2tanα＝2×＝1. α＋β∈，∴α＋β＝.三角函数式的化简【例2】化简.[解]原式＝＝＝＝＝＝＝＝2.三角函数式的化简，主要有以下几类：①对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段．以实现三角函数式的化简．2．化简sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β.[解]原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2αsin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－＝sin2αsin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.三角恒等变换【例3】求证：··＝tan.[证明]左边＝··＝＝＝＝＝＝tan＝右边．∴等式成立．1．三角恒等式的证明，就是运用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几个方面：(1)角的差异；(2)三角函数名称的差异；(3)三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．2．证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法．3．三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明．不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等．附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件，或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明．3．已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin2β，求证：2tan2β＝tanα＋tanβ.[证明]因为tan(α－β)＝sin2β，tan(α－β)＝，sin2β＝，所以＝.去分母整理得tanα＝，所以tanα＋tanβ＝＝2tan2β.三角函数与平面向量的综合应用【例4】已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．[思路探究]本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数．(1)按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简；(2)化简f(x)，并参照x∈，求出最大值和最小值．[解](1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，|a＋b|＝＝＝2|cosx|. x∈，∴cosx>0，即|a＋b|＝2cosx.(2) f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2－，且x∈，∴≤cosx≤1.∴当cosx＝时，f(x)取得最小值－；当cosx＝1时，f(x)取得最大值为－1.三角函数与平面向量相结合是近几年来高考的亮点，它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面此类题目所涉及向量的知识往往...