高中数学 第3章 三角恒等变形 3 第2课时 半角的正弦、余弦和正切（教师用书）教案 北师大版必修4-北师大版高二必修4数学教案VIP专享VIP免费

第2课时半角的正弦、余弦和正切学习目标核心素养1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法．(重点)2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点)1.通过用二倍角公式推导出半角公式，体会逻辑推理素养．2.通过利用三角恒等变换对三角函数式化简求值，体会数学运算素养．半角公式(1)sin＝±_；(2)cos＝±_；(3)tan＝±_＝＝．思考：利用tanα＝和倍角公式能得到tan与sinα，cosα有怎样的关系？[提示]tan＝＝＝，tan＝＝＝.1．若cosα＝，且α∈(0，π)，则sin的值为()A．－B．C．D．－[答案]B2．已知cosα＝，α∈，则cos的值为()A．B．C．－D．－[答案]B3．tan15°等于()A．2＋B．2－C．＋1D．－1B[由tan＝，得tan15°＝＝2－.]4．若cos22°＝a，则sin11°＝________，cos11°＝________(用a表示).[sin11°＞0，cos11°＞0，所以sin11°＝，cos11°＝.]应用半角公式求值【例1】已知cosα＝，α为第四象限角，求sin、cos、tan.[解]sin＝±＝±＝±，cos＝±＝±＝±，tan＝±＝±＝±.∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．当为第二象限角时，sin＝，cos＝－，tan＝－；当为第四象限角时，sin＝－，cos＝，tan＝－.在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于tan，还要注意运用公式tan＝＝来求值．1．已知sinθ＝，且<θ<3π，求cos和tan.[解]∵sinθ＝，<θ<3π，∴cosθ＝－＝－.由cosθ＝2cos2－1得cos2＝＝.∵<<π.∴cos＝－＝－.tan＝＝2.利用半角公式化简求值【例2】化简：.[思路探究]利用半角公式将角进一步统一为，注意角的取值范围．[解]∵<α<2π，∴<<π，∴原式＝＝＝cos2－sin2＝cosα.对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．2．化简：(180°0.∴原式＝＋＝－＋＝－cos.