高中数学 第3章 三角恒等变形 1 同角三角函数的基本关系（教师用书）教案 北师大版必修4-北师大版高二必修4数学教案VIP专享VIP免费

§1同角三角函数的基本关系学习目标核心素养1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.(重点)2.会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．(难点)1.通过学习同角三角函数基本关系式，提升数学抽象素养．2.通过运用同角三角函数基本关系化简或证明三角恒等式，培养逻辑推理素养．同角三角函数基本关系式(1)关系式①平方关系：sin2α＋cos2α＝__1__；②商数关系：＝tanα．(2)文字叙述同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．(3)变形形式①1＝sin2α＋cos2α；②sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；③sinα＝±_；cosα＝±_；④sinα＝cosαtanα；⑤(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα．思考：sin230°＋cos245°等于1吗？有意义吗？[提示]不等于1，分母为0，无意义．1．已知sinα＝－，α是第三象限角，则tanα等于()A．B．－C．D．－C[因为sinα＝－，且α是第三象限角．所以cosα＝－＝－.所以tanα＝＝.]2．已知3sinα＋cosα＝0，则tanα＝________．－[因为3sinα＋cosα＝0，所以cosα＝－3sinα，所以tanα＝＝＝－.]3．已知sinθ＝，cosθ＝，则m＝________．0或8[由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8.]4.cos2x＝()A．tanxB．sinxC．cosxD．D[原式＝cos2x＝·cos2x＝.]利用同角基本关系式求值【例1】已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．[解] cosα＝－<0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝＝－.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－＝－，tanα＝.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”．本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cosα的值推断出α所在的象限，再分类求解．1．已知tanα＝且α为第三象限角，求sinα，cosα的值．[解]由tanα＝＝，得sinα＝cosα.①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝，又α是第三象限角，∴cosα＝－，sinα＝－.利用sinα±cosα，sinα，cosα之间的关系求值【例2】已知0<α<π，sinα＋cosα＝，求tanα的值．[解]由sinα＋cosα＝，①得sinα·cosα＝－<0，又0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，则sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝＝＝＝，②由①②解得sinα＝，cosα＝－，∴tanα＝＝－.sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，利用此关系求sinα＋cosα或sinα－cosα的值时，要注意判断它们的符号．2．sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为()A．B．－C．D．－B[ (cosα－sinα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－2×＝，∴cosα－sinα＝±.又<α<，sinα>cosα，∴cosα－sinα＝－.]利用同角三角函数关系化简、证明[探究问题]1．平方关系对任意α∈R均成立，对吗？商数关系呢？[提示]平方关系中对任意α∈R均成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z).2．证明三角恒等式常用哪些技巧？[提示]切弦互化，整体代换，“1”的代换．3．证明三角恒等式应遵循什么样的原则？[提示]由繁到简．【例3】(1)化简tanα·，其中α是第二象限角；(2)求证：＝.[思路探究](1)先确定sinα，cosα的符号，结合平方关系和商数关系化简．(2)逆用平方关系结合tanα＝化简．[解](1)因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.故tanα·＝tanα·＝tanα＝·＝·＝－1.(2)证明：左边＝＝＝＝＝右边．所以原式成立．1．将例3(1)变为“”，试对该式进行化简．[解]原式＝＝＝＝＝1.2．将例3(2)变为试证“＝”．[证明]左边＝＝＝＝＝右边，所以等式成立．1．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简...