高中数学 第3章 三角恒等变形 2 2.3 两角和与差的正切函数（教师用书）教案 北师大版必修4-北师大版高二必修4数学教案VIP专享VIP免费

2.3两角和与差的正切函数学习目标核心素养1.能利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．(重点)2.掌握公式T(α±β)及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题．(难点)1.通过利用两角和(或差)的正弦、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式，提升逻辑推理素养．2.通过T(α±β)及其公式解决化简、求值、证明等，培养数学运算素养．两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1(1)变形公式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－.(2)公式的特例tan＝；tan＝.思考：怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？[提示]tan(α＋β)＝＝，分子分母同除以cosαcosβ，便可得到．1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)＝()A．B．C．－D．－3A[因为tanα＝3，tanβ＝，所以tan(α－β)＝＝＝.]2．设α，β∈，且tanα＝，tanβ＝，则α－β等于()A．B．C．D．－D[tan(α－β)＝＝＝－1. －＜α－β＜，∴α－β＝－.]3.的值为()A．B．－C．D．－C[原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝.]4.＝________．[＝tan(82°－22°)＝tan60°＝.]化简求值【例1】求下列各式的值：(1)；(2)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.[解](1)原式＝＝tan(60°＋15°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝＝＝2＋.(2) tan45°＝＝1，∴tan15°＋tan30°＝1－tan15°tan30°，∴原式＝(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1.在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现，1，，这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的．1．(1)；(2)tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°.[解](1) tan15°＝tan(45°－30°)＝＝＝2－.∴＝＝＝＝－.(2)tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°＝tan(10°＋50°)(1－tan10°tan50°)＋tan10°tan50°＝tan60°－tan10°tan50°＋tan10°tan50°＝tan60°＝.给值求值(或求角)【例2】(1)已知tan＝，tan＝2.求：①tan；②tan(α＋β).(2)设方程x2＋3x＋4＝0的两根为tanα，tanβ，且0＜|α|＜，0＜|β|＜，求α＋β的值．[解](1)①tan＝tan＝＝＝－.②tan(α＋β)＝tan＝＝＝2－3.(2)由已知，得tanα＋tanβ＝－3，tanαtanβ＝4.所以tan(α＋β)＝＝＝，且tanα＜0，tanβ＜0，所以－＜α＜0，－＜β＜0，所以－π＜α＋β＜0，所以α＋β＝－π.1．“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角．2．已知某三角函数值求角问题，通常分两步：(1)先求角的某个三角函数值(由题中已知名称和范围确定)；(2)根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围．2．已知tanα＝，tanβ＝－2，且0＜α＜＜β＜π，求：(1)tan(α－β)的值；(2)角α＋β的值．[解](1)因为tanα＝，tanβ＝－2，所以tan(α－β)＝＝＝7.(2)tan(α＋β)＝＝＝－1，因为0＜α＜＜β＜π，所以＜α＋β＜，所以α＋β＝.正切公式的综合应用[探究问题]1．若α＋β＝π，则tanα与tanβ存在怎样关系？[提示]tanα＝tan(π－β)＝－tanβ.2．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC与tanAtanBtanC有何关系？[提示] A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tanC，∴＝－tanC，∴tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.3．在△ABC中，A，B，C三个角有什么关系？[提示]A＋B＋C＝π或＋＝－.【例3】在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．[思路探究]可先求出tan(B＋C)和tan(A＋B)的值．再由诱导公式分别求tanA和tanC的值，从而可得A，B，C，即可判断三角形形状．[解]tanA＝tan[...