高中数学 第2章 数列 2.3.3 等比数列的前n项和（第1课时）等比数列的前n项和讲义 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案VIP免费

第1课时等比数列的前n项和学习目标核心素养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)2.会用错位相减法求数列的和．(重点)3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.1.通过等比数列前n项和的实际应用，培养数学建模素养.2.借助等比数列基本量的计算及错位相减法的应用，培养数学运算素养.1．等比数列前n项和公式思考1：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?[提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．2．错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①用公比q乘①的两边，可得qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，整理得Sn＝(q≠1)．(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.思考2：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？[提示]根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝＝q，再由合比定理，则得＝q，即＝q，进而可求Sn.1．等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为()A.B.C.D.C[当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n.当x≠1时，q＝x，Sn＝＝.]2．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则S5＝________.31[S5＝＝＝31.]3．数列，，，，…的前10项的和S10＝________.[S10＝＋＋＋…＋＋，则S10＝＋＋…＋＋.两式相减得，S10＝＋＋＋…＋－＝－，所以S10＝.]4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．11(1.15－1)a[去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·＝11(1.15－1)a.]等比数列基本量的运算【例1】在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.[解](1)由题意知解得或从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.(2)法一：由题意知解得从而S5＝＝.法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝.又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝＝.(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而或又Sn＝＝126，所以q为2或.1．在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．1．在等比数列{an}中．(1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q；(2)已知S4＝1，S8＝17，求an.[解](1)由Sn＝得11＝，∴q＝－2，又由an＝a1qn－1得16＝(－2)n－1，∴n＝5.(2)若q＝1，则S8＝2S4，不合题意，∴q≠1，∴S4＝＝1，S8＝＝17，两式相除得＝17＝1＋q4，∴q＝2或q＝－2，∴a1＝或a1＝－，∴an＝·2n－1或－·(－2)n－1.等比数列前n项和公式的实际应用【例2】借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.062,1.015≈1.051)思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．[解]法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，…a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.由题意，可知a6＝0，即1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0，a＝. 1.016≈1.062，∴a＝≈1713.故每月应支付1713元．法二：一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月...