第2章平面向量[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]平面向量的线性运算【例1】(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，4)，则2a－b的结果是()A．(7，－2)B．(1，－2)C．(1，－3)D．(7，2)(2)设D为△ABC所在平面内一点，则BD＝3CD，则()A．AD＝－AB＋ACB．AD＝AB－ACC．AD＝AB－ACD．AD＝－AB＋AC(1)A(2)D[(1) a＝(2，1)，b＝(－3，4)，∴2a－b＝2(2，1)－(－3，4)＝(4，2)－(－3，4)＝(4＋3，2－4)＝(7，－2)，故选A.(2) BD＝3CD，∴AD－AB＝3(AD－AC)，∴2AD＝3AC－AB，∴AD＝AC－AB.]向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．(2)求解策略：①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．②字符表示线性运算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法则，如AB＋BC＝AC；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB－OA＝AB.③平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用．④注意常见结论的应用．如△ABC中，点D是BC的中点，则AB＋AC＝2AD.1．(1)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．(2)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；y＝________．(1)(2)－[(1)因为λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，所以解得(2)因为AM＝2MC，所以AM＝AC.因为BN＝NC，所以AN＝(AB＋AC)，所以MN＝AN－AM＝(AB＋AC)－AC＝AB－AC.又MN＝xAB＋yAC，所以x＝，y＝－.]平面向量的数量积【例2】(1)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1).若m⊥b，则|x＋2y|＝________．(2)已知两个单位向量a，b的夹角θ为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．(1)(2)2[(1)因为单位向量m＝(x，y)，则x2＋y2＝1.①若m⊥b，则m·b＝0，即2x－y＝0.②由①②解得x2＝，所以|x|＝，|x＋2y|＝5|x|＝.(2)法一：因为b·c＝0，所以b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0.又因为|a|＝|b|＝1，θ＝60°，所以t＋1－t＝0，所以t＝2.法二：由t＋(1－t)＝1知向量a，b，c的终点A、B、C共线，在平面直角坐标系中设a＝(1，0)，b＝，则c＝.把a、b、c的坐标代入c＝ta＋(1－t)b，得t＝2.]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．2．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．－6[b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×1×1×－8＝－6.]向量的夹角及垂直问题[探究问题]1．怎样求两个不共线向量的夹角？[提示]对两个不共线向量a，b，通过平移使它们的起点相同，这两个有公共起点的向量的夹角就是a与b的夹角．2．两向量所成的角与两直线所成角的区别是什么？[提示]两向量所成的角，不一定是两向量所在的直线所成的角，因为前者的取值范围为[0°，180°]，而后者的取值范围为[0°，90°].这一点经常容易混淆，一定要注意．3．用数量积判断两向量夹角时应注意什么？[提示]当θ＝0°时，有a·b>0，此时a与b共线且同向，即a·b>0，不能说向量的夹角一定为锐角，同理当θ＝180°时，有a·b<0，但a·b<0，不能说向量的夹角一定为钝角．【例3】已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).(1)求证：AB⊥AD；(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．[思路探究](1)利用AB·AD＝0即可；(2)利用夹角公式cosθ＝求解．[解](1)证明： A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，∴AB＝(1，1)，AD＝(－3，3). AB·AD＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB⊥AD，即AB⊥AD.(2) AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，∴AB＝DC.设C点坐标为(x，y)，则DC＝(x＋1，y－4)，∴解得∴点C坐...
