高中数学 第2章 平面向量 2.2.2 向量的减法讲义 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案VIP免费

2.2.2向量的减法学习目标核心素养(教师独具)1.理解向量减法的意义及减法法则．(重点)2.掌握向量减法的几何意义．(难点)3.能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算核心素养.向量的减法(1)向量减法的定义若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)向量的减法法则如图所示，以O为起点，作向量OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b.1．思考辨析(1)OP－OQ＝PQ.()(2)若－b与a同向，则a－b与a同向．()(3)向量的减法不满足结合律．()[解析](1)×.OP－OQ＝QP；(2)√.－b与a同向，则a－b＝－b＋a与a同向．(3)×.如(a－b)＋c＝a＋(c－b)．[答案](1)×(2)√(3)×2．化简AB－AC＋BC等于________．0[AB－AC＋BC＝CB＋BC＝0.]3．化简OP－QP＋PS＋SP的结果等于________．OQ[OP－QP＋PS＋SP＝OP＋PS＋SP－QP＝OP＋PQ＝OQ.]向量减法的几何作图【例1】如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.思路点拨：根据相反向量及三角形法则求作．[解]法一：先作a－b，再作(a－b)－c即可．1如图①所示，以A为起点分别作向量AB和AC，使AB＝a，AC＝b，连结CB，得向量CB，再以C为起点作向量CD，使CD＝c，连结DB，得向量DB.则向量DB即为所求作的向量a－b－c.法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.(1)作AB＝－b和BC＝－c；(2)作OA＝a，则OC＝a－b－c.求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连结两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解]如图，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c.向量减法法则的应用【例2】(1)化简下列式子：①NQ－PQ－NM－MP；②(AB－CD)－(AC－BD)．(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD.思路点拨：(1)充分利用减法的运算律求解．(2)寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加(减)法解决．[解](1)①原式＝NQ＋QP－(NM＋MP)＝NP－NP＝0.②(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝(AB＋BD)＋(DC＋CA)＝AD＋DA＝0.2(2)因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD＝AE＝c；BC＝AC－AB＝b－a，故BD＝BC＋CD＝b－a＋c.1向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.2用几个基本向量表示其他向量的技巧：①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.2．如图所示，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，OF＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：(1)AD－AB；(2)AB＋CF；(3)BF－BD.[解](1)AD－AB＝BD＝OD－OB， OD＝d，OB＝b，∴AD－AB＝d－b.(2) AB＋CF＝(OB－OA)＋(OF－OC)，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OF＝f，∴AB＋CF＝b＋f－a－c.(3)BF－BD＝DF＝OF－OD， OF＝f，OD＝d，∴BF－BD＝f－d.|a－b|与a，b之间的关系[探究问题]1．若a与b共线，怎样作出a－b?提示：①当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b；②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b；③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：3OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.2．结合探究问题1的图示及向量的减法法则，探究|a－b|与a，b之间的大小关系？提示：当a与b不共线时，有：||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|；当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|；当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.【例3】已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.思路点拨：|a＋b|＝|a－b|→判断a与b的位置关系→求|a－b|的值．[解]如图，设AB＝a，AD＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD.则AC＝a＋b，DB＝a－b，因为|a＋b|＝|a－b|，所以|AC|...