第2章一元二次函数、方程和不等式不等式的性质【例1】如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是()A．ab＞acB．c(b－a)＞0C．cb2＜ab2D．ac(a－c)＜0C[c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0.对于A：⇒ab＞ac，A正确．对于B：⇒c·(b－a)＞0，B正确．对于C：⇒cb2≤ab2cb2＜ab2，C错，即C不一定成立．对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，选C.]不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了.1．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是()A．ab>acB．ac>bcC．a|b|>c|b|D．a2>b2>c2A[由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A.]2．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．1－1≤a－b≤6[∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.]基本不等式【例2】设x<－1，求y＝的最大值．[解]∵x<－1，∴x＋1<0.∴－(x＋1)>0，∴y＝＝＝＝(x＋1)＋＋5＝－＋5≤－2＋5＝1，当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”．]基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.3．若x，y为实数，且x＋2y＝4，则xy的最大值为________．2[xy＝·x·(2y)≤·2＝2(当且仅当x＝2y，且x＋2y＝4，即x＝2，y＝1时取“＝”)．]一元二次不等式的解法【例3】解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.[解]方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.4．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，则m＝________.2[因为ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1⇒⇒]不等式恒成立问题【例4】(1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都成立，则实数m的取2值范围是________．(2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．(1)－＜m＜0[由题意，得函数y＝x2＋mx－1在{x|m≤x≤m＋1}上的最大值小于0，又抛物线y＝x2＋mx－1开口向上，所以只需即解得－＜m＜0.](2)[解]由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数．由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零，所以解得x＜1或x＞3.故当x＜1或x＞3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零．对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：1变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.2转化法求参数范围已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，则1y≥k恒成立⇒ymin≥k即m≥k；2y≤k恒成立⇒ymax≤k即n≤k.5．若不等式ax2－2x＋2>0对于满足10可化为a>.令y＝，且1即为所求．34
