高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（第2课时）基本不等式的应用讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

第2课时基本不等式的应用学习目标核心素养1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点)1.通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是()A.B．4C.D．5C[ a＋b＝2，∴＝1.∴＋＝＝＋≥＋2＝.故y＝＋的最小值为.]2．若x>0，则x＋的最小值是________．2[x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．]3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．100[ x，y∈N*，∴20＝x＋y≥2，∴xy≤100.]利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；(2)已知00，∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.(2) 00，∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝.1∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章§3.2函数的基本性质中学习.1．(1)已知x>0，求函数y＝的最小值；(2)已知00)的最小值为9.(2)法一： 00.∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝.当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．∴当x＝时，函数取得最大值.法二： 00.∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·2＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．∴当x＝时，函数取得最大值.利用基本不等式求条件最值【例2】已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．[解] x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当即时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．[解] x，y∈R＋，∴＋＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当＝时取等号，结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式2的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋型和f(x)＝ax(b－ax)型．2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．[解]法一：＋＝·1＝·(a＋2b)＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当即时等号成立．∴＋的最小值为3＋2.法二：＋＝＋＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2，当且仅当即时，等号成立，∴＋的最小值为3＋2.利用基本不等式解决实际问题【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解]设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.法一：由于2x＋3y≥2＝2，所以2≤18，得xy≤，即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y. x>0，∴00.∴S≤2＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要...