高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（第1课时）基本不等式讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

第1课时基本不等式学习目标核心素养1.了解基本不等式的证明过程．(重点)2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养．2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.1．重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝0B[当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1时，“＝”成立．]2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是()A．a2＋b2B．2C．2abD．a＋bD[ a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b，∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab( a≠b)，∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.又 a＋b＞2( a≠b)，∴a＋b最大．]3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为()A．1B．2C．4D．8B[ a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.]4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.③[根据≥xy，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对基本不等式的理解【例1】给出下面四个推导过程：① a、b为正实数，∴＋≥2＝2；1② a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；③ x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.其中正确的推导为()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[① a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．② a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．③由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式≤(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.1．下列不等式的推导过程正确的是________．①若x＞1，则x＋≥2＝2.②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4.③若a，b∈R，则＋≥2＝2.②[①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用基本不等式比较大小【例2】(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是()A．a＋b≥2B.＋≥2C.≥2D.≥(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac[(1)由≥得a＋b＝2，∴A成立； ＋≥2＝2，∴B成立； ≥＝2，∴C成立； ≤＝，∴D不一定成立．(2) a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．22．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是()A．P＞Q＞MB．M＞P＞QC．Q＞M＞PD．M＞Q＞PB[显然＞，又因为＜，(由a＋b＞也就是＜1可得)，所以＞＞.故M＞P＞Q.]利用基本不等式证明不等式【例3】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.[思路点拨]看到＋＋>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明] a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时取等号，∴＋＋>9.本例条件不变，求证：>8.[证明] a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，∴＝··≥＝8，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴＞8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通...