学而思高中完整讲义：空间向量与立体几何.板块四.用空间向量计算距离与角度.学生版典例分析【例1】在正方体中，，求与所成角的余弦值．【例2】直三棱柱中，．求证：．C1B1A1CBA【例3】如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，．求面与面所成的二面角的正切值．DCBAS【例4】已知，，，求方向向量为直线与平面所成角的余弦值．用心爱心专心1【例5】已知平行六面体中，，，，，，求的长D'C'B'A'DCBA【例6】如图直角梯形中，，，，平面，，以、、分别为轴、轴、轴建立直角坐标系．⑴求与的夹角的大小（用反三角函数表示）；⑵设，满足平面，求①的坐标；②与平面的夹角（用反三角函数表示）；③到平面的距离．CBAOS【例7】如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，，，，是的中点．⑴求异面直线与所成的角的余弦值；⑵求点到平面的距离；⑶若点是棱上一点，且，求的值．用心爱心专心2PGFEDCBA【例8】已知分别是正方体的棱和的中点，求⑴与所成角的大小；⑵与平面所成角的大小；⑶二面角的大小．【例9】长方体中，，为与的交点，为与的交点，又，求⑴长方体的高；⑵二面角的大小．【例10】如图：在空间四边形中，、、两两垂直，且，是的中点，异面直线和所成的角为，求⑴的长度；⑵二面角的余弦值．EDCBA【例11】如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点，平面⑴证明：．⑵设二面角为，求与平面所成角的大小．用心爱心专心3EDC1B1A1CBA【例12】如图，在直三棱柱中，，，求二面角的大小．C1B1A1CBA【例13】如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的垂心．⑴求与平面所成角的余弦值；⑵求点到平面的距离．GEDC1B1A1CBA【例14】如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，．点在侧棱上，．⑴证明：是侧棱的中点；⑵求二面角的大小．用心爱心专心4MSDCBA【例15】如图所示：边长为的正方形和高为的直角梯形所在的平面互相垂直且，且．⑴求和面所成的角的余弦；⑵线段上是否存在点使过、、三点的平面和直线垂直，若存在，求与的比值；若不存在，说明理由．PFEDCBA【例16】如图，在空间四边形中，，，，求与的夹角的余弦值．CBAO【例17】如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于、的一点，，已知，，，，求：⑴异面直线与的距离；⑵二面角的平面角的正切值．用心爱心专心5ABCA1B1C1E【例18】如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，取如图所示的空间直角坐标系，⑴写出、、、的坐标；⑵求证：，且；⑶求异面直线与所成角的余弦值．GFECDBAD1C1B1A1【例19】如图，在棱长为的正方体中，、、分别是、、的中点，⑴求证：，且；⑵求异面直线与所成角的余弦值．⑶写出平面的一个法向量．GFECDBAD1C1B1A1【例20】如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，侧棱长为．⑴与能否垂直？请证明你的判断；⑵当在上变化时，求异面直线与所成角的取值范围．用心爱心专心6D1C1B1A1DCBA【例21】如图：已知四棱锥的底面是平行四边形，，垂足在边上是等腰直角三角形，，四面体的体积为．EDCBAP⑴求面与底面所成的锐二面角的余弦值；⑵求点到面的距离；⑶若点在直线上，且，求的值．【例22】如图所示：边长为的正方形和高为的直角梯形所在的平面互相垂直且，且．⑴求和面所成的角的余弦；⑵线段上是否存在点使过、、三点的平面和直线垂直，若存在，求与的比值；若不存在，说明理由．PFEDCBA用心爱心专心7用心爱心专心8
