排列、组合和概率组合⑵课题：组合的简单应用及组合数的两个性质目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．过程：一、复习回顾：1．复习排列和组合的有关内容：定义特点相同××公式排列组合强调：排列——次序性；组合——无序性．2．练习一：练习1：求证：．（本式也可变形为：）练习2：计算：①和；②与；③答案：①120，120②20，20③792（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）3．练习二：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？答案：⑴（组合问题）⑵（排列问题）二、新授：1．组合数的性质1：．理解：一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵又∴注：1我们规定2等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．3此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化．例如：＝＝=2002．14或2．示例一：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：⑴⑵⑶引导学生发现：．为什么呢？我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．3．组合数的性质2：＝+．证明：∴＝+．注：1公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．4．示例二：⑴计算：2⑵求证：＝++⑶解方程：⑷解方程：⑸计算：和推广：5．组合数性质的简单应用：证明下列等式成立：⑴（讲解）⑵（练习）⑶三、小结：1．组合数的两个性质；2．从特殊到一般的归纳思想．3
