高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 2.6 曲线与方程 2.6.2 求曲线的方程讲义（含解析）苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学教案VIP免费

2．6.2求曲线的方程在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(2，－3)，(4，－1)．问题1：求平面上任一点M(x，y)到A点的距离．提示：MA＝.问题2：试列出到点A、B距离相等的点满足的方程．提示：MA＝MB，即＝.求曲线方程的一般步骤正确认识求曲线方程的一般步骤：(1)“建立适当的坐标系”所谓“适当”是指若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称轴为坐标轴；其次，可以选曲线上的特殊点作为原点．(2)“设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)”．这一步实际上是在挖掘形成曲线的条件中所含的等量关系．(3)“列出符合p(M)的方程f(x，y)＝0.”这里就是等量关系的坐标化，完成这一步需要使用解析几何的基本公式及平面几何、三角等基础知识．(4)“化方程f(x，y)＝0为最简形式”．化简时需要使用代数中的恒等变形的方法．(5)“说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上”．这一步的证明是必要的．从教材内容看，这一步不作要求，可以省略，但在完成第(4)步时，所用的变形方法应都是可逆的，否则要作适当说明．直接法求曲线方程[例1]△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，a>c>b，且a，c，b成等差数列，AB＝2，求顶点C的轨迹方程．[思路点拨]由a，c，b成等差数列可得a＋b＝2c；由a>c>b可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解.[精解详析]以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C点坐标为(x，y)，由已知得AC＋BC＝2AB.即＋＝4，整理化简得3x2＋4y2－12＝0，即＋＝1.又 a>c>b，∴x<0且x≠－2.所以顶点C的轨迹方程为＋＝1(x<0且x≠－2)．[一点通]1．“直接法”求曲线方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步，即：建系、设点→根据条件列方程→化简；2．其中“建系”是指建立适当的直角坐标系．所谓“适当”应使计算量较小，且所得的方程形式较简单．若坐标系建立不当，计算量就会大大增加，有时很可能得不到正确的结果．1．若将本例已知条件“a>c>b且a，c，b成等差数列”改为“△ABC的周长为6且AB＝2”，求顶点C的轨迹方程．解：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，由已知得AC＋BC＋AB＝6.即＋＝4.化简整理得3x2＋4y2－12＝0，即＋＝1. A、B、C三点不能共线，∴x≠±2.综上，点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．2．已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|＋|＝·(＋)＋2.求曲线C的方程．解：由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，得|＋|＝，又·(＋)＝(x，y)·(0,2)＝2y，由已知得＝2y＋2，化简得曲线C的方程是x2＝4y.定义法求曲线方程[例2]已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．[思路点拨]利用平面几何的知识，分析点P满足的条件为抛物线，可用定义法求解．[精解详析]如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则KQ＝1，所以PQ＝r＋1，又AP＝r＋1，所以AP＝PQ，故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．∴＝2，∴p＝4，∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.[一点通]若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征．3．点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解：设d是点F到直线x＝8的距离，根据题意，得＝.由圆锥曲线的统一定义可知，点P的轨迹是以F(2,0)为焦点，x＝8为准线的椭圆，则解得∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.故点P的轨迹方程为＋＝1.4.如图所示，已知点C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．解：圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为C(－，0)，半径r＝2， ·＝0，＝2，∴MQ⊥AP，点M为AP的中点，即QM垂直平分AP.连结AQ,则AQ＝QP，∴|QC－QA|＝|QC...