高中数学 第1章 解三角形 1.2 余弦定理（1）教案 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案VIP免费

1.2余弦定理（1）教学目标：1.掌握余弦定理及其证明方法；2.初步掌握余弦定理的应用；3.培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．教学重点：余弦定理及其应用；教学难点：用解析法证明余弦定理．教学方法：发现教学法．教学过程：一、问题情境在上节中，我们通过等式ACBABC的两边与AD（AD为ABC中BC边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．CcBbAasinsinsin．探索1还有其他途径将向量等式ACBABC数量化吗？二、学生活动向量的平方是向量数量化的一种手段．因为ACBABC（如图1），所以）（）（ACBAACBABCBC222ACBAACBA即Abccbacos2222，1ABC图1同理可得Baccabcos2222，CabBaccos2222．上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．三、建构数学对任意三角形，有余弦定理：Abccbacos2222，Baccabcos2222，Cabbaccos2222．探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法．方法一：如图2建立直角坐标系，则)0,(),sin,cos(),0,0(bCAcAcBA．所以22222222cos2sincossincosbAbcAcAcAcbAcaAbccbcos222．同理可证：Baccabcos2222，Cabbaccos2222．方法二：若A是锐角，如图3，由B作ACBD，垂足为D，则AcADcos．2AC图2Byx所以，22222222(ACAD)ACAD2ACADBDaDCBDBDAbccbADACBDADACcos22-)(22222，即Abccbacos2222，类似地，可以证明当A是钝角时，结论也成立，而当A是直角时，结论显然成立．同理可证Baccabcos2222，Cabbaccos2222．方法三：由正弦定理，得)sin(2sin2CBRARa．所以)coscossinsin2sincoscos(sin4)(sin422222222CBCBCBCBRCBRa]coscossinsin2sin)sin1()sin1([sin422222CBCBCBCBR)]cos(sinsin2sin[sin4222CBCBCBRACRBRCRBRcos)sin2)(sin2(2sin4sin42222Abccbcos222．同理可证Baccabcos2222，Cabbaccos2222．余弦定理也可以写成如下形式：bcacbA2cos222，3cabacB2cos222，abcbaC2cos222．探索3利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．四、数学运用1．例题．例1在ABC中，（1）已知60,1,3Acb，求a；（2）已知,6,10,7cba求最大角的余弦值．解（1）由余弦定理，得760cos13213cos222222Abccba，所以7a．（2）因为bac，所以B为最大角，由余弦定理，得28576210762cos222222cabacB．例2用余弦定理证明：在ABC中，当C为锐角时，222cba；当C为钝角时，222cba．证明：当C为锐角时，0cosC，由余弦定理得22222cos2baCabbac即222cba；4同理可证，当C为钝角时，222cba．2．练习．（1）在ABC中，已知3,5,7cba，求A．（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（）A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形（3）在ABC中，已知222cabba，试求C的大小．练习答案：（1）32A（2）B（3）32C五、要点归纳与方法小结本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．5