第1章立体几何初步空间中的平行关系【例1】如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：(1)GE∥平面BDD1B1；(2)平面BDF∥平面B1D1H.思路探究：(1)取B1D1的中点O，证明四边形BEGO是平行四边形．(2)证B1D1∥平面BDF，HD1∥平面BDF.[证明](1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，易证OGB1C1，BEB1C1，∴OGBE，四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE. OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1∥BD， B1D1平面BDF，BD平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连结HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF. HD1平面BDF，BF平面BDF，∴HD1∥平面BDF. B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.1．判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥α⇒a∥β)．2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．1．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的点，P为平面ABC外一点．设Q为PA的中点，G为△AOC的重心．求证：QG∥平面PBC.[证明]如图，连接OG并延长，交AC于点M，连接QM，QO，OM.由G为△AOC的重心，得M为AC的中点．由Q为PA的中点，得QM∥PC.又O为AB的中点，所以OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM平面QMO，MO平面QMO，BC∩PC＝C，BC平面PBC，PC平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.又QG平面QMO，所以QG∥平面PBC.空间中的垂直关系【例2】如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.思路探究：取EC中点F，CA中点N，连结DF，MN，BN.(1)证△DFE≌△ABD，(2)证BN⊥平面ECA，(3)证DM⊥平面ECA.[证明](1)如图所示，取EC的中点F，连结DF，易知DF∥BC， EC⊥BC，∴DF⊥EC.在Rt△DEF和Rt△DBA中， EF＝EC＝BD，FD＝BC＝AB，∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故DE＝DA.(2)取CA的中点N，连结MN，BN，则MNEC，∴MN∥BD，即N点在平面BDM内． EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA. BN在平面MNBD内，∴平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA.(3) DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，bα，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，mα，nα，m∩n＝A⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，aβ，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．2．如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．(1)求证：AP∥平面MBD；(2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.[证明](1)如图，连结AC交BD于点O，连结OM.因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点．又M为PC的中点，所以OM∥PA.因为OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP∥平面MBD.(2)因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD.因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因为BD平面PBD，所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PD⊥BD.又因为BD⊥AD，AD∩PD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以BD⊥平面PAD.空间几何体的体积及表面积【例3】如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求四...
