1.3.2空间几何体的体积学习目标核心素养1.了解球、柱、锥和台的体积的计算公式(不要求记忆公式)．(重点)2.会求柱、锥、台和球的体积．(重点、易错点)3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)通过学习本节内容来提升学生的直观想象、数学运算核心素养.1．柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)，V圆柱＝πr2h(r为底面半径)锥体V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥＝r2h(r为底面半径)台体V台体＝h(S＋＋S′)(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台＝πh(r′2＋rr′＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径)思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．提示：V＝Sh――→V＝(S′＋＋S)h――→V＝Sh.2．球的体积和表面积若球的半径为R，则(1)球的体积V＝πR3．(2)球的表面积S＝4πR2．1．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为________．a3[设正方体的边长为x，则x＝a，故x＝，V＝a3.]2．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方体，则此圆柱的体积为__________．[设圆柱的底面半径为r，高为h，则有2πr＝2，即r＝，故圆柱的体积为V＝πr2h＝π×2＝.]3．如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．1∶24[设三棱柱A1B1C1ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝×S·h＝Sh＝V2，即V1∶V2＝1∶24.]4．若球的表面积为36π，则该球的体积等于________．36π[设球的半径为R，由题意可知4πR2＝36π，∴R＝3.∴该球的体积V＝πR3＝36π.]多面体的体积【例1】如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，点D是AB的中点，求三棱锥A1B1CD的体积．思路探究：法一：VA1B1CD＝V柱－VA1ADC－VB1BDC－VCA1B1C1.法二：利用等体积法求解，VA1B1CD＝VCA1B1D.[解] AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝5.法一：由题意可知VA1B1C1ABC＝S△ABC×AA1＝×4×3×4＝24.又VA1ADC＝×S△ABC×AA1＝S△ABC×AA1＝4.VB1BDC＝×S△ABC×BB1＝S△ABC×BB1＝4.VCA1B1C1＝S△A1B1C1×CC1＝8，∴VA1B1CD＝VA1B1C1ABC－VA1ADC－VB1BDC－VCA1B1C1＝24－4－4－8＝8.法二：在△ABC中，过C作CF⊥AB，垂足为F，由平面ABB1A1⊥平面ABC知，CF⊥平面A1B1BA.又S△A1B1D＝A1B1·AA1＝×5×4＝10.在△ABC中，CF＝＝＝.∴VA1B1CD＝VCA1B1D＝S△A1B1D·CF＝×10×＝8.几何体的体积的求法(1)直接法：直接套用体积公式求解．(2)等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到．(3)分割法：在求一些不规则的几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体．(4)补形法：对一些不规则(或难求解)的几何体，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的几何体．1．如图，在三棱锥PABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥PABC的体积．[解] AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形，设D为BC的中点，连结AD，PD，作PO⊥平面ABC. ∠PAB＝∠PAC且AB＝AC，∴O∈AD.作PE⊥AB于点E，连结OE，则OE⊥AB.在Rt△PAE中，PE＝asin60°＝a，AE＝.在Rt△AEO中，OE＝tan30°＝a.∴OP＝＝a.又S△ABC＝BC·AD＝a2.∴VPABC＝·S△ABC·OP＝a3.旋转体的体积【例2】圆台上底的面积为16πcm2，下底半径为6cm，母线长为10cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？思路探究：解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题．[解]如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4cm，于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．圆台的高h＝BC＝＝＝4(cm)，V圆台＝h(S＋＋S′)＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)．求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．2.如图，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．[解]如图所示，所...
