第2课时数列求和学习目标核心素养1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式．(重点)2．掌握数列求和的基本方法．(重点、难点)1.通过求解数列的前n项和培养数学运算素养．2．通过学习数列求和的方法提升逻辑推理素养.常见数列求和方法阅读教材P15～P16例7以上及P26～P27例5以上部分，完成下列问题．(1)公式法①等差数列的前n项和公式：Sn＝n(a1＋an)＝na1＋n(n－1)d．②等比数列前n项和公式：Sn＝③前n个正整数平方和：12＋22＋32＋…＋n2＝.(2)分组求和法一个数列的每一项如果可以平分成两个或多个等差数列或等比数列，那么可以通过适当分组，进而利用等差、等比数列求和公式分别求和，从而得到原数列的和．(3)裂项相消法数列中的每一项可以平分成前后可以相互抵消的两项之差的求和方法．(4)错位相减法由一个等差与一个等比数列对应项乘积构成的数列，可以利用错位相减法转化成等比数列求和．思考：(1)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an＋bn}前n项和应用什么方法？[提示]分组求和法．(2)已知an＝－，求数列{an}的前n项和应用什么方法？[提示]裂项相消法．1．1＋＋＋…＋等于()A．B．C．D．B[因为＝－，所以原式＝1＋＝1＋＝.]2．数列{n·2n}的前n项和为()A．(n－1)2n＋1＋2B．n·2n＋1＋2C．(n－1)·2n＋2D．n·2n＋2A[设数列{n·2n}的前n项和为Sn，则Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①所以2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②1由②－①得Sn＝n×2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n×2n＋1－＝n·2n＋1－2n＋1＋2.]3．数列{an}的通项公式为an＝2n＋n，则其前n项和Sn＝________.2n＋1－2＋n(n＋1)[Sn＝21＋1＋22＋2＋23＋3＋…＋2n＋n＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋n(n＋1)＝2n＋1－2＋n(n＋1)．]4．把裂为两项，以便求数列的和，则＝________.[＝.]分组求和法【例1】已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．[解](1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由得∴bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3，…)．(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件．一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．(2)解题步骤21．等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．[解](1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.错位相减法求和【例2】已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．[解](1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而a1＝.所以{an}的通项公式为an＝n＋1.(2)设的前n项和为Sn，由(1)知＝，则Sn＝＋＋…＋＋.Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.利用错位相减法的一般类型及思路(1)适用的数列类型：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q≠1的等比数列．(2)思路：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn(*)，则qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1(**)，3(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和．[提醒]用错位相减法求和时容易出现以下两点错误：(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和．2．已知an＝，求数列{an}的前n项和Sn.[解]Sn＝＋＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋＋＋…＋－...
