第1课时等比数列的前n项和学习目标核心素养1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点、易混点)2．会用错位相减法求数列的和．(重点、难点)3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(重点)1.通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理的数学素养．2．通过学习等比数列前n项和公式有关的题型，提升数学运算素养.1．等比数列的前n项和公式阅读教材P26～P27例5以上部分，完成下列问题．等比数列前n项和公比已知量适用公式q＝1首项Sn＝na1q≠1首项，公比，项数Sn＝首项，公比，末项Sn＝思考：(1)等比数列的前n项和公式中涉及哪些量？[提示]Sn，a1，q，n，an，共五个量．(2)当等比数列的公比q≠1时，其前n项和公式可化为Sn＝－Aqn＋A的形式，其中的A是什么？[提示]A＝.2．等比数列前n项和公式的推导该等比数列{an}的前n项和为Sn.公比为q，则Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1①，qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn②，①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.当q≠1时，Sn＝(q≠1)．又因为an＝a1qn－1，所以上式还可以写成Sn＝.当q＝1时，Sn＝na1.1．等比数列{an}中，an＝2n，则它的前n项和Sn＝()A．2n－1B．2n－2C．2n＋1－1D．2n＋1－2D[等比数列{an}的首项为2，公比为2.所以Sn＝＝＝2n＋1－2，故选D．]2．等比数列1，x，x2，x3，…(x≠0)的前n项和Sn为()A．B．C．D．C[当x＝1时，数列为常数列，又a1＝1，所以Sn＝n.1当x≠1时，q＝x，Sn＝＝.]3．等比数列{an}的前n项和Sn＝k·3n＋1，则k的值为()A．全体实数B．－1C．1D．3B[当n＝1时，a1＝S1＝3k＋1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k·3n－k·3n－1＝2k·3n－1.令3k＋1＝2k得k＝－1.]4．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为________．2－[设其公比为q，因为a1＝1，a4＝a1q3＝.所以q＝.所以S10＝＝2－.]等比数列前n项和的基本计算【例1】(1)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________.(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝________.(3)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.(1)32(2)2n－1(3)6[(1)设{an}的首项为a1，公比为q，则解得，所以a8＝×27＝25＝32.(2)因为数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2·a3＝a1·a4＝8，解得a1＝1，a4＝8，所以q3＝8，q＝2，所以Sn＝＝2n－1.(3) a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又 Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.]等比数列前n项和的运算技巧(1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．(2)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解．[提醒]等比数列的公比q一定不为0.1．在等比数列中．2(1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7；(2)若a3＝，S3＝，求a1和公比q.[解](1)因为{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16，q＞0，∴a5＝a1q4＝16，∴q＝2(负值舍去)，∴S7＝＝＝127.(2)①当q≠1时，S3＝＝，又a3＝a1q2＝，∴a1(1＋q＋q2)＝，即(1＋q＋q2)＝，解得q＝－(q＝1舍去)，∴a1＝6.②当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝.综上得或等比数列前n项和的实际应用【例2】某商场2018年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从2018年起，大约几年可使总销售量达到30000台(lg1.6≈0.2，lg1.1≈0.04)?[解]根据题意，每年比上一年销售量增加10%，所以，从2018年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5000，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30000，由等比数列前n项和公式得＝30000，整理，得1.1n＝1.6，两边取对数，得nlg1.1＝1g1.6，所以n＝≈＝5(年)．故大约5年可使总销售量达到30000台．解答数列应用题的步骤对于一个实际问题，首先要弄清题目中所含的数量关系，考察是否可通过建立数列模型来解决，是否可以转化为等比数列的问题，基本思路清晰后再着手解题．要注意：(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型．(2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想...
