高中数学 第1章 数列 3.1 等比数列 第1课时 等比数列的概念及其通项公式教案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学教案VIP免费

第1课时等比数列的概念及其通项公式学习目标核心素养1.理解等比数列的定义．(重点)2．掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3．熟练掌握等比数列的判定方法．(重点)1.通过等比数列概念的学习培养学生的抽象素养．2．借助于等比数列通项公式的学习提升学生的数学运算素养.1．等比数列的定义阅读教材P21～P22“例1”以上部分，完成下列问题．文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，公比常用字母q表示(q≠0)符号语言若＝q(n≥2，q≠0)，则数列{an}为等比数列思考：(1)如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数，这个数列一定是等比数列吗？[提示]不一定，只有比值是同一个常数才是等比数列，如数列：2,2,3,3,4,4，就不是等比数列．(2)0可以作为等比数列中的一项吗？[提示]不可以，由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比q也不能为0.2．等比数列的通项公式阅读教材P22“例1”以下至P23“例2”以上部分，完成下列问题．(1)等比数列通项公式首项为a1，公比是q的等比数列的通项公式是an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．(2)用函数的观点看等比数列的通项等比数列{an}的图像是函数y＝·qx的图像上的一群孤立的点．思考：(1)等比数列的通项公式一定是指数函数吗？[提示]不一定．只有当a1＝1，q＞0且q≠1时，其通项公式才是指数函数．(2)若数列{an}的通项公式为an＝2n，那么{an}是等比数列吗？[提示]因为＝＝2，所以数列{an}是等比数列．1．下面各数列成等比数列的是()①－1，－2，－4，－8，…；②1，－，3，－3，…；③x，x，x，x，…；④，，，，….A．①②③B．①②C．①②④D．①②③④C[由等比数列的定义可知，对于③中的x，若x＝0，则不是等比数列．]2．已知数列{an}为等比数列，若a1＝3，a5＝12，则公比q＝()A．B．±C．D．±1D[由{an}为等比数列得a5＝a1·q4＝12，∴3×q4＝12，∴q＝±.故选D．]3．已知{an}为等比数列，a1＝12，a2＝24，则a3＝()A．36B．48C．60D．72B[由a1＝12，a2＝24得q＝＝2.∴a3＝a2q＝24×2＝48.故选B．]4．等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的通项公式为________．an＝2×5n－1(n∈N＋)[数列{an}的通项公式为an＝2×5n－1(n∈N＋)．]等比数列的通项公式及应用【例1】在等比数列{an}中．(1)已知a2＝4，a5＝－，求an；(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.[解](1)法一：设等比数列的公比为q，则解得∴an＝a1qn－1＝(－8)×n－1＝n－4.法二：设等比数列的公比为q，则＝q3，即q3＝－，q＝－.∴an＝a5qn－5＝·n－5＝n－4.(2)法一：设等比数列的公比为q，则解得从而a1＝＝128.由a1qn－1＝，即n－1＝8，得n＝9.法二：设等比数列{an}的公比为q. a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝. a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.∴a4＝16，an＝a4·qn－4＝16·n－4.由16·n－4＝，得n－4＝5，∴n＝9.等比数列通项公式的应用技巧(1)a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出．(2)等比数列的通项公式涉及四个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．(3)在等比数列的计算问题中，经常使用方程的思想和整体代换的思想．1．在等比数列{an}中．2(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.[解](1)因为a3＝2，a5＝8，所以q2＝＝＝4，所以a7＝a5·q2＝8×4＝32.(2)由a3＋a1＝5，a5－a1＝15，得②÷①得q2－1＝3，q2＝4，a1＝1，所以q＝2或－2，当q＝2时，an＝2n－1，当q＝－2时，an＝(－2)n－1.等比数列的实际应用【例2】某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示第n(n∈N＋)年这辆车的价值；(2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？[解](1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，a3＝10(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1.所以第n年车的价值为a...