高中数学 第1章 数列 3.1 等比数列 第2课时 等比数列的性质教案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学教案VIP免费

第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来．2．理解等比数列的性质及应用．(重点)3．掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点)1.通过等比数列性质的研究，培养逻辑推理的数学素养．2．通过学习等比中项的概念．提升数学运算的素养.1．等比数列的单调性阅读教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列问题．对于等比数列{an}，通项公式an＝a1·qn－1＝·qn.根据指数函数的单调性，可分析当q＞0时的单调性如下表：a1a1＞0a1＜0q的范围0＜q＜1q＝1q＞10＜q＜1q＝1q＞1{an}的单调性递减数列常数列递增数列递增数列常数列递减数列思考：(1)若等比数列{an}中，a1＝，q＝，则数列{an}的单调性如何？[提示]递减数列．(2)等比数列{an}中，若公比q＜0，则数列{an}的单调性如何？[提示]数列{an}不具有单调性，是摆动数列．2．等比中项阅读教材P25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．(1)前提：在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫作a，b的等比中项．(3)满足关系式：G2＝ab．思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？[提示]不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a，b存在等比中项，唯一吗？[提示]不唯一，如2和8的等比中项是4或－4.1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于()A．－B．－2C．2D．D[由a5＝a2q3，得q3＝＝＝，所以q＝，故选D．]2．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列1D．不一定是等比数列B[由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B．]3．等比数列{an}中，若a1＝2，且{an}是递增数列，则数列{an}的公比q的取值范围是________．(1，＋∞)[因为a1＝2＞0，要使{an}是递增数列，则需公比q＞1.]4．4－2与4＋2的等比中项是________．2或－2[由题意知4－2与4＋2的等比中项为±＝±＝±2.]等比中项及应用【例1】(1)设x,2x＋2,3x＋3成等比数列，则x＝_____________.(2)设a，b，c是实数，若a，b，c成等比数列，且，，成等差数列，则＋的值为________．(1)－4(2)2[(1)由题意得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4，当x＝－1时，2x＋2＝0，不符合题意，舍去，所以x＝－4.(2)由a，b，c成等比数列，，，成等差数列，得即＝2，故(a－c)2＝0，则a＝c，所以＋＝1＋1＝2.]应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零．(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．1．(1)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是()A．1或B．1或－C．1或D．1或－(2)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.(1)D(2)4×n－1[(1)由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2，2所以或因此的值为1或－.(2)由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝＝＝，所以an＝4×n－1.]等比数列的设法与求解【例2】已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为________．1，－2,4,10或－，－2，－5，－8[由题意设此四个数分别为，b，bq，a，则b3＝－8，解得b＝－2，q与a可通过解方程组求出，即为或所以此四个数为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.]灵活设项求解等比数列的技巧(1)三个数成等比数列设为，a，aq.(2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3.(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.2．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－，则这三个数依次为________．－，1，－[设这三个数分别为，a，aq，则解得a＝1，q＝－，所以这三个数依次为－，1，－.]等比数列的性质及应用[探究问题]1．在等差数列{an}中，an＝am...