高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的作用 1.3.1 单调性讲义（含解析）苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教案VIP免费

1.3.1单调性[对应学生用书P13]已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝.问题1：试作出上述三个函数的图象．提示：图象为问题2：试根据上述图象说明函数的单调性．提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．问题3：判断它们导函数的正负．提示：y1′＝1>0，y2′＝2x，当x>0时，y2′>0，当x<0时，y2′<0，y3′＝－<0.问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0f(x)为该区间上的增函数f′(x)<0f(x)为该区间上的减函数上述结论可以用下图来直观理解．1．根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈现上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈现下降的状态，即函数单调递减．2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是充要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.判断(或证明)函数的单调性[例1]讨论下列函数的单调性．(1)y＝ax5－1(a>0)；(2)y＝ax－a－x(a>0且a≠1)．[思路点拨]先求出函数的导数，然后通过导数的符号来讨论函数的单调性．[精解详析](1) y′＝5ax4且a>0，∴y′≥0在R上恒成立，∴y＝ax5－1在R上为增函数．(2)y′＝axlna－a－xlna(－x)′＝(ax＋a－x)lna，当a>1时，lna>0，ax＋a－x>0，∴y′>0在R上恒成立，∴y＝ax－a－x在R上为增函数．当00，∴y′<0在R上恒成立，∴y＝ax－a－x在R上为减函数．[一点通]判定函数单调性的方法有两种：(1)利用函数的单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x10}，又f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝lnx＋x在其定义域内为增函数．3．判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．解：因为y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a>0时，y′≥0，函数在R上是增函数；(2)当a<0时，y′≤0，函数在R上是减函数；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．求函数的单调区间[例2]求下列函数的单调区间：(1)y＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2lnx.[思路点拨]先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，并与定义域求交集从而得到相应的单调区间．[精解详析](1)y′＝3x2－4x＋1.令3x2－4x＋1>0，解得x>1或x<，因此，y＝x3－2x2＋x的单调递增区间为(1，＋∞)，.再令3x2－4x＋1<0，解得0，即2·>0，解得－.又 x>0，∴x>.令f′(x)<0，即2·<0，解得x<－或00，∴00或f′(x)<0，不等式的解集就是函数的单调区间．(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(1)中的单调增区间不能...