高中数学 第1章 导数及其应用 1.2 导数的运算 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数讲义（含解析）苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教案VIP免费

1．2.2函数的和、差、积、商的导数已知f(x)＝x，g(x)＝.问题1：f(x)、g(x)的导数分别是什么？提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－.问题2：若Q(x)＝x＋，则Q(x)的导数是什么？提示： Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，∴＝1－.当Δx无限趋近于0时，无限趋近于1－，∴Q′(x)＝1－.问题3：Q(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有什么关系？提示：Q′(x)＝f′(x)＋g′(x)．导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)，则(1)[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)；(2)[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)；(3)[Cf(x)]′＝Cf(x)′(C为常数)；(4)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(5)′＝(g(x)≠0)．1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及(5)′＝这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．求函数的导数[例1]求下列函数的导数：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝；(4)y＝xtanx.[思路点拨]结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导．[精解详析](1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝(3x2＋x3)ex.(3)y′＝′＝＝＝－.(4)y′＝(x·tanx)′＝′＝＝＝.[一点通](1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．1．若f(x)＝x3＋2x＋1，则f′(－1)＝________.解析：f′(x)＝′＝′＋(2x)′＋1′＝x2＋2，所以f′(－1)＝(－1)2＋2＝3.答案：32．函数y＝x(x2＋1)的导数是________．解析：y′＝[x(x2＋1)]′＝(x3＋x)′＝3x2＋1.答案：3x2＋13．求下列函数的导数：(1)y＝－2x；(2)y＝.解：(1)y′＝′－(2x)′＝－2xln2＝－2xln2＝－2xln2.(2)y′＝′＝′＝′＝＝.导数运算法则的简单应用[例2]设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．[思路点拨]首先求f′(x)，然后利用条件建立a，b的方程组求解．[精解详析]f′(x)＝(a·ex)′＋(blnx)′＝a·ex＋，由f′(1)＝e，f′(－1)＝，得解得所以a，b的值分别为1,0.[一点通]利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．4．设f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a＝________.解析： f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，即a＝.答案：5．若函数f(x)＝在x＝c(c≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．解： f(x)＝，∴f(c)＝，又f′(x)＝＝，∴f′(c)＝，依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴＋＝0，∴2c－1＝0得c＝.导数运算法则的综合应用[例3]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．[思路点拨]题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a、b、c的值．[精解详析] 曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，∴a＋b＋c＝1.① y′＝2ax＋b，当x＝2时，y′＝4a＋b.∴4a＋b＝1.②又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③，解得a＝3，b＝－11，c＝9.[一点通]利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q(2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．6．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．解析：易知抛物线y...