高中数学 第1章 导数及其应用 1.2 导数的运算 1.2.3 简单复合函数的导数讲义（含解析）苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教案VIP免费

1．2.3简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f(x)＝sin，g(x)＝(3x＋2)2.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题2：试说明g(x)＝(3x＋2)2是如何复合的？提示：函数g(x)＝(3x＋2)2是由g(u)＝u2，u＝3x＋2复合而成的．问题3：试求g(x)＝(3x＋2)2，g(u)＝u2，u＝3x＋2的导数．提示：g′(x)＝[(3x＋2)2]′＝[9x2＋12x＋4]′＝18x＋12.g′(u)＝2u，u′＝3.问题4：观察问题3中导数有何关系？提示：g′(x)＝g′(u)·u′.若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量．2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．复合函数的求导[例1]求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝cos(ωx＋φ)(其中ω、φ为常数)；(4)y＝log2(5－3x)．[思路点拨]先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．[精解详析](1)y＝＝(2x＋3)－是函数y＝u－，u＝2x＋3的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(u－)′·(2x＋3)′＝－u－·2＝－3u－＝－3(2x＋3)－.(2)y＝e－0.05x＋1是函数y＝eu，u＝－0.05x＋1的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1.(3)y＝cos(ωx＋φ)是y＝cosu，u＝ωx＋φ的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(cosu)′·(ωx＋φ)′＝－sinu·ω＝－ωsin(ωx＋φ)．(4)y＝log2(5－3x)是y＝log2u，u＝5－3x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(log2u)′·(5－3x)′＝－3·＝＝.[一点通]对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f(x)＝ln，则f′(x)＝________.解析：f(x)＝ln是f(u)＝lnu与u＝的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·′＝·＝－.答案：－2．函数y＝sin3x＋sinx3的导数为________．解析：y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2·cosx3.答案：3sin2xcosx＋3x2·cosx33．求下列函数的导数：(1)y＝e2x2＋3x；(2)y＝.解：(1)y＝eu，u＝2x2＋3x，所以y′x＝y′u·u′x＝eu·(2x2＋3x)′＝eu·(4x＋3)＝(4x＋3)e2x2＋3x.(2) y＝＝(1－3x)－4，∴可设y＝u－4，u＝1－3x， y′u＝－4u－5，u′x＝－3，∴y′x＝y′u·u′x＝－4u－5×(－3)＝12(1－3x)－5.求导法则的综合应用[例2]求下列函数的导数．(1)y＝31－xsin(2x－1)；(2)y＝.[思路点拨]根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解．[精解详析](1)y′＝(31－x)′sin(2x－1)＋31－x·[sin(2x－1)]′＝－31－xln3·sin(2x－1)＋31－x·2cos(2x－1)＝31－x[2cos(2x－1)－sin(2x－1)·ln3]．(2)y′＝＝＝＝.[一点通](1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f(x)＝xcos2x，则f′(x)＝________.解析：f′(x)＝x′cos2x＋x(cos2x)′＝cos2x－2xsin2x.答案：cos2x－2xsin2x5．求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝sin2(1－x)．解：(1)y′＝＝＝.(2) y＝sin2(1－x)＝[1－cos(2－2x)]＝－cos(2－2x)＝－cos(2x－2)．∴y′＝sin(2x－2)．复合函数导数的应用[例3]已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．[思路点拨]→→→→.[精解详析] f′(x)＝a(x2)′＋2··(2－x)′＝2ax－，∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln1＝a，∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－...