§5正弦函数的图像与性质5.1正弦函数的图像学习目标核心素养1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．(重点)2．掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．(难点)1.通过学习利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法，体会数学抽象素养．2．通过用“五点法”作出简单的正弦曲线，提升直观想象素养．1．正弦线如图所示，设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O相交于点P(x，y)，过P点作x轴的垂线，垂足为M.我们称MP为角α的正弦线，P叫正弦线的终点．思考1：在正弦线的定义中MP也可以写成PM的形式吗？正弦线是一条线段，这种判断对吗？[提示]MP不能写成PM的形式，因为正弦线是有向线段，既有大小又有方向．2．在函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．描出这五个点后，函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图．思考2：描点法作函数的图像有哪几个步骤？[提示]列表、描点、连线．1．对于正弦函数y＝sinx的图像，下列说法错误的是()A.向左、右无限延展B.与y＝－sinx的图像形状相同，只是位置不同C.与x轴有无数个交点D.关于y轴对称D[y＝sinx为奇函数，关于原点对称，故D错误．]2．y＝sinx的图像的大致形状为()[答案]B3．用五点法画y＝sinx，x∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．5π[0＋＋π＋＋2π＝5π.]4．函数y＝sinx在[0，2π]上的单调减区间为________，最大值为________．1[由正弦函数的图像(图略)可知．]“五点法”作图【例1】用五点法作函数y＝1－sinx，x∈[0，2π]的图像．[解](1)列表：x0π2πsinx010－101－sinx10121(2)描点、连线，图像如图．1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x取0，，π，，2π，然后相应求出y值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．1．(1)作出函数y＝2sinx(0≤x≤2π)的图像；(2)用五点法画出函数y＝sin2x(0≤x≤π)的图像．[解](1)列表：x0π2πsinx010－102sinx020－20描点作图：(2)列表：x0π2x0π2πsin2x010－10描点得y＝sin2x(0≤x≤π)的简图，如图：利用正弦函数图像解不等式【例2】利用y＝sinx的图像，在[0，2π]内求满足sinx≥－的x的取值范围．[解]列表：x0π2πsinx010－10描点，连线如图，同时作出直线y＝－的图像．由图像可得sinx≥－的取值范围为∪.用三角函数图像解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数在[0，2π]上的图像；(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；(3)根据图像写出不等式的解集．2．利用正弦函数的图像，求满足sinx≥的x的集合．[解]作出正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像，如图所示，由图像可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z.正弦函数图像的应用[探究问题]1．若已知函数y＝f(x)的图像，如何作出函数y＝|f(x)|的图像？[提示]将函数y＝f(x)的x轴上方的图像保持不变，将x轴下方的图像关于x轴翻折到x轴上方即可．2．如何利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数？[提示]可以利用函数的图像与x轴的交点的个数判断．也可以将该函数对应的方程拆分成两个简单函数，利用这两个函数图像交点的个数判断．【例3】函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0，2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．[思路探究]在同一坐标系中，作出两个函数图像．[解]y＝作出图像分析(如图). f(x)图像与直线y＝k有且仅有两个不同交点．∴1
