§6余弦函数的图像与性质6.1余弦函数的图像6.2余弦函数的性质学习目标核心素养1.会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．2．会用五点法画出余弦函数在[0，2π]上的图像．(重点)3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)1.利用诱导公式，通过平移得到余弦函数的图像，体会数学抽象素养．2．通过五点法画出余弦函数在[0，2π]上的图像，提升直观想象素养．1．余弦函数的图像(1)利用图像变换作余弦函数的图像因为y＝cosx＝sin，所以余弦函数y＝cosx的图像可以通过将正弦曲线y＝sinx向左平移个单位长度得到．如图是余弦函数y＝cosx(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．(2)利用五点法作余弦函数的图像画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y＝cosx(x∈[0，2π])的图像上有五个关键点，为(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)，可利用此五点画出余弦函数y＝cosx，x∈R的简图(如图).思考1：根据y＝sinx和y＝cosx的关系，你能利用y＝sinx，x∈R的图像得到y＝cosx，x∈R的图像吗？[提示]能，根据cosx＝sin，只需把y＝sinx，x∈R的图像向左平移个单位长度，即可得到y＝cosx，x∈R的图像．2．余弦函数的性质图像定义域R值域[－1，1]最大值，最小值当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1周期性周期函数，T＝2π单调性在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的奇偶性偶函数，图像关于y轴对称思考2：余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？[提示]观察图像(图略)可知：当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.推广到整个定义域可得当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.1．用五点法作出函数y＝3－cosx的图像，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是()A.(π，－1)B．(0，2)C.D．A[由五点作图法知五个关键点分别为(0，2)，，(π，4)，，(2π，2).]2．函数y＝－3cosx＋2的值域为()A.[－1，5]B．[－5，1]C.[－1，1]D．[－3，1]A[因为－1≤cosx≤1，所以－1≤－3cosx＋2≤5.]3．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间上是增函数C.函数f(x)的图像关于直线x＝0对称D.函数f(x)是奇函数D[f(x)＝sin＝－sin＝－cosx，由f(x)＝cosx的性质可判断A、B、C均正确．]4．已知函数y＝－cosx，x∈[0，2π]，则其递增区间为________．[0，π][当x∈[0，2π]时，函数y＝cosx在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，所以函数y＝－cosx在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数．]余弦函数图像的画法【例1】画出函数y＝－cosx，x∈[0，2π]的简图．[解]法一：按五个关键点列表：x0π2πcosx10－101－cosx－1010－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图．法二：作函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图像，然后将其作关于x轴对称的图像，即得y＝－cosx，x∈[0，2π]的图像．所谓的五点法是指特定的五个点，这五个点为图像的最高点、最低点或与图像的平衡位置的交点，切忌用其他的五点来代替．五点法是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，其他方法都由此变化而来．函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点坐标依次为：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).1．作函数y＝cosx－1，x∈[0，2π]的简图．[解]按五个关键点列表：x0π2πcosx10－101cosx0－0cosx－1－－1－－1－在坐标系内，根据五点、、、、画图，如图所示．余弦函数图像的应用【例2】已知y＝cosx(x∈R)，求：(1)y≥时x的集合；(2)－≤y≤时x的集合．[解]用五点法作出y＝cosx的简图．(1)过点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于，点，在[－π，π]区间内，y≥时，x的集合为当x∈R时，若y≥，则x的集合为.(2)过，点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，k∈Z，，k∈Z和，k∈Z，，k∈Z，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横...
