高中数学 第1章 三角函数 1.1.2 弧度制讲义 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案VIP免费

1.1.2弧度制学习目标核心素养(教师独具)1.了解弧度制.2.会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.一、弧度制的概念1．角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？[提示]“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关．二、角度制与弧度制的换算1．角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝rad≈0.01745rad1rad＝度≈57.30°2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0°1°30°45°60°90°弧度0角度120°135°150°180°270°360°弧度π2π3.任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？[提示]利用1°＝弧度和1弧度＝°进行弧度与角度的换算．三、扇形的弧长公式及面积公式1．弧度制下的弧长公式：如图，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝，弧长l＝|α|r.特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|.2．扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝·πr2＝lr.1．思考辨析1(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．()[答案](1)×(2)×(3)×2．将下列弧度与角度互换(1)－＝________；(2)2＝________；(3)72°＝________；(4)－300°＝________.(1)－40°(2)°(3)rad(4)－rad[(1)－rad＝－×180°＝－40°.(2)2rad＝2×°＝°.(3)72°＝72×rad＝rad.(4)－300°＝－300×rad＝－rad.]3．半径为1，圆心角为的扇形的弧长为________，面积为________．[ α＝，r＝1，∴弧长l＝α·r＝，面积＝lr＝××1＝.]角度制与弧度制的互化【例1】把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′.思路点拨：利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．[解](1)－450°＝－450×rad＝－rad；(2)rad＝×°＝18°；(3)－rad＝－×°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×rad＝rad.角度制与弧度制换算的要点：提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.[解](1)20°＝rad＝rad.2(2)－15°＝－rad＝－rad.(3)rad＝×180°＝105°.(4)－rad＝－×180°＝－396°.用弧度制表示角的集合【例2】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．思路点拨：先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合．[解]用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1).(2).(3).表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπk∈Z”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°k∈Z”中，α必须是用角度制表示的角.提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．①②[解](1)如题图①，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为.(2)如题图②，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝，M2＝.所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝.扇形的弧长及面积问题3[探究问题]1．公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？提示：公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角．2．在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．提示：已知任意两个量可求其余两个量，如已...