高中数学 《从力做的功到向量的数量积》教案 北师大版必修4VIP专享VIP免费

2.5从力做的功到向量的数量积一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点:向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点:运算律的理解三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】（学生阅读教材P107—108，师生共同讨论）思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对一般的向量a和b，如何定义这种运算？1.力做的功：W=|F|•|s|cos是F与s的夹角2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a•b=|a||b|cos，并规定0与任何向量的数量积为0。3.向量夹角的概念：范围0≤≤180[展示投影]由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。②两个向量的数量积称为内积，写成a•b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。③在实数中，若a0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a•b=0，不能推出b=0。因为其中cos有可能为0.这就得性质2.④已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是a•b=b•ca=c如右图：a•b=|a||b|cos=|b||OA|b•c=|b||c|cos=|b||OA|1C=0=180OOOOOOAAAAAABBBBBBCOaAcbsFa•b=b•c但ac⑤在实数中，有(a•b)c=a(b•c)，但是(a•b)ca(b•c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.[展示投影]思考与交流：思考与交流1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的射影。注意：①射影也是一个数量，不是向量。②当为锐角时射影为正值；当为钝角时射影为负值；当为直角时射影为0；当=0时射影为|b|；当=180时射影为|b|.思考与交流2.如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.几何意义：数量积a•b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。①e•a=a•e=|a|cos②aba•b=0③当a与b同向时，a•b=|a||b|；当a与b反向时，a•b=|a||b|。特别的a•a=|a|2或④cos=（|a||b|≠0）⑤|ab|≤|a||b|【巩固深化，发展思维】判断下列各题正确与否：①若a=0，则对任一向量b，有a•b=0.(√)②若a0，则对任一非零向量b，有a•b0.(×)③若a0，a•b=0，则b=0.(×)④若a•b=0，则a、b至少有一个为零.(×)⑤若a0，a•b=a•c，则b=c.(×)⑥若a•b=a•c，则b=c当且仅当a0时成立.(×)⑦对任意向量a、b、c，有(a•b)•ca•(b•c).(×)⑧对任意向量a，有a2=|a|2.(√)[展示投影]思考与交流：思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义，你能否验证下列向量的数量积是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）1.交换律：a•b=b•a2AOOBOB1OabAOOBOB1OabAOOBO(B1)Oab证：设a，b夹角为，则a•b=|a||b|cos，b•a=|b||a|cos∴a•b=b•a2.数乘结合律：(a)•b=(a•b)=a•(b)证：若=0，此式显然成立.若>0，(a)•b=|a||b|cos，(a•b)=|a||b|cos，a•(b)=|a||...