高中数学 4.5《向量的数量积》教案 湘教版必修2VIP专享VIP免费

第10课时：§2.4向量的数量积（二）【三维目标】：一、知识与技能1.掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.2.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题二、过程与方法1.通过师生互动，学生自主探究、交流与合作培养学生探求新知及合作能力；2.通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力；3.让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。三、情感、态度与价值观1.让学生进一步领悟数形结合的思想；2.让学生进一步理解向量的数量积，进一步激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.【教学重点与难点】：重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用难点：平面向量的数量积运算律的理解【学法与教学用具】：1.学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【复习提问】：1.（1）两个非零向量夹角的概念；（2）平面向量数量积（内积）的定义；（3）“投影”的概念；（4）向量数量积的几何意义；（5）两个向量的数量积的性质。2．判断下列各题正确与否：①若，则对任一向量，有；(√)②若，则对任一非零向量，有；(×)③若，，则；(×)④若，则至少有一个为零向量；(×)⑤若，则当且仅当时成立；(×)用心爱心专心1⑥对任意向量，有．(√)二、研探新知1.数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）（1）交换律：证明：设夹角为，则，，∴．（2）数乘结合律：证明：若，此式显然成立.若，，，，∴若，，，．∴综上可知成立.（3）分配律：．在平面内取一点，作=,=，=，∵（即）在方向上的投影等于在方向上的投影和，即：∴，∴即：．【说明】：（1）一般地，()·≠·（·）（2）·＝·，≠＝（3）有如下常用性质：＝||,(＋)＝＋２＋用心爱心专心212abABOA1B1Cc（＋）·（＋）＝·＋·＋·＋·,2向量的数量积不满足结合律分析：若有（）＝（·），设、夹角为，、夹角为β，则()＝||·||cosα·，·(·)＝·||||cosβ，∴若＝，α＝β，则||＝||，进而有：（）＝·(•)，这是一种特殊情形，一般情况下不成立。举反例如下：已知||＝１，||＝１，||＝，与夹角是60°，与夹角是45°，()·＝（||·||cos60°）·＝，·(·)＝（||·||cos45°）＝而≠，故（）·≠·（·）三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角解：由题意可得：①②两式相减得：，代入①或②得：，设的夹角为，则,∴，即与的夹角为．例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。【举一反三】1用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设==,==∵为菱形∴||=||∴•=(+)()=22=||2||2=0∴，即菱形对角线互相垂直。2.如图，是的三条高，用心爱心专心3ABCDEFH求证：相交于一点。变式：用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点。例3四边形中，=，=，=,＝，且·＝·＝·＝·，试问四边形是什么图形?例4设与是夹角为60°，且||||，是否存在满足条件的，，使|+|=2|-|？请说明理由。四、巩固深化，反馈矫正1.已知||=1,||=，（1）-与垂直，则的夹角是______；（2）若，；（3）若、的夹角为，则|+|；2.已知||=2,||=1，与之间的夹角为，那么向量-4的模为_____；|-4|·|-|3.设、是两个单位向量，其夹角为，求向量=2+与=2-3的夹角；6.对于两个非零向量、，（1）求使||最小时的值，并求此时与的夹角。（2）当的模取最小值时，①求的值；②求证：与垂直。解：（2）①，∴当时,最小；②∵，∴与垂直。五、归纳整理，整体认识通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.六、承上启下，留下悬念1．向量的模分别为，的夹角为，求的模；2．设是两个不相等的非零向量，且，求与的夹角。用心爱心专心43．设，是相互垂直的单位向量，求．4.预习向量数量积的坐标表示。七、板书设计（略）八、课后记：用心爱心专心5