第三十二课时函数与方程小结与复习【学习导航】学习要求1．了解函数的零点与方程根的关系；2．根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；3．体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式．自学评价1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标．2．函数与方程两个函数()yfx与()ygx图象交点的横坐标就是方程()()fxgx的解；反之，要求方程()()fxgx的解，也只要求函数()yfx与()ygx图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)mn，则必有()()0fmfn，再取区间的中点2mnp，再判断()()fpfm的正负号，若()()0fpfm，则根在区间(,)mp中；若()()0fpfm，则根在(,)pn中；若()0fp，则p即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．【精典范例】例1：已知二次函数()yfx的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)三点，（1）求()fx的解析式；（2）求()fx的零点；（3）比较(2)(4)ff，(1)(3)ff，(5)(1)ff，(3)(6)ff与0的大小关系．分析：可设函数解析式为2yaxbxc，将已知点的坐标代入方程解方程组求a、b、c．【解】（1）设函数解析式为2yaxbxc，由85937cabcabc解得128abc，用心爱心专心听课随笔∴2()28fxxx．（2）令()0fx得2x或4，∴零点是122,4xx．（3）(2)(4)0ff，(1)(3)97630ff，(5)(1)350ff，(3)(6)1120ff．点评：当二次函数()yfx的两个零点12,xx12()xx都在（或都不在）区间(,)mn中时，()()0fmfn；有且只有一个零点在区间(,)mn中时，()()0fmfn．例2：利用计算器，求方程2670xx的近似解（精确到0.1）．分析一：可先找出方程的根所在的一个区间，再用二分法求解．解法一：设2()67fxxx，通过观察函数的草图得：(1)20f，(2)10f，∴方程2670xx有一根在(1,2)内，设为1x， (1.5)0.250f，∴11.52x，又 1.52()(1.75)0.437502ff，∴11.51.75x，如此继续下去，得1(1)0,(2)0(1,2)ffx，1(1.5)0,(2)0(1.5,2)ffx，1(1.5)0,(1.75)0(1.5,1.75)ffx1(1.5)0,(1.625)0(1.5,1.625)ffx(1.5625)0,(1.625)0ff1(1.5625,1.625)x 1.5625,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程2670xx的一个近似值都为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似值为4.4．点评：解题过程中要始终抓住重点：区间两端点的函数值必须异号．分析二：还可以用方程近似解的另一种方法——“迭代法”来求解．用心爱心专心解法二：将原方程写成276xx①取12x代入等式右边得2111.8333336x，再将2x代入方程①右边，得31.72685x，……如此循环计算数十次后，可得计算结果稳定在1.58583，∴该方程的近似解为1.58583，精确到0.1后为1.6．用同样的方法可以求出方程的另一个近似解为4.4．点评：“迭代法”也是一种常用的求近似解的方法．例3：已知函数2()(3)1fxkxkx的图象与x轴在原点的右侧有交点，试确定实数k的取值范围．分析：【解】（1）当0k时，()31fxx与x轴的交点为1(,0)3，符合题意；（2）0k时，(0)1f，0k时，()fx的图象是开口向下的抛物线，它与x轴的两交点分别在原点的两侧；0k时，()fx的图象是开口向上的抛物线，必须2(3)40302kkkk，解得01k综上可得k的取值范围为(,1].追踪训练一1．函数22()log(45)fxxx的图象与x轴交点横坐标为（D））A.1B.0C.2或0D.22．已知01a则方程0logxaax的解的个数是（A）A.1B.2C.3D.不确定用心爱心专心听课随笔...
