O(,)Pxy(,)Cab普通高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版]第13课时圆的标准方程教学目标（1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；（2）掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；（3）能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．教学重点圆的标准方程及其运用．教学难点圆的标准方程的推导和运用．教学过程一、问题情境1．情境：河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？2．问题：在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？二、学生活动回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？三、建构数学1．由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆的标准方程：用心爱心专心一般地，设点(,)Pxy是以(,)Cab为圆心，r为半径的圆上的任意一点，则||CPr，由两点间距离公式，得到：22()()xaybr即222()()xaybr（１）；反过来，若点Q的坐标00(,)xy是方程(1)的解，则22200()()xaybr，即2200()()xaybr，这说明点00(,)Qxy到点C(,)ab的距离为r即点Q在以(,)Cab为圆心，r为半径的圆上；2．方程222()()(0)xaybrr叫做以(,)ab为圆心，r为半径的圆的标准方程；3．当圆心在原点(0,0)时，圆的方程则为222(0)xyrr；特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为221xy四、数学运用1．例题：例1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：⑴22(2)(3)7xy；⑵22(5)(4)18xy⑶22(1)3xy⑷22144xy⑸22(4)4xy解：（如下表）方程圆心半径22(2)(3)7xy(2,3)7用心爱心专心22(5)(4)18xy(5,4)3222(1)3xy(0,1)322144xy(0,0)1222(4)4xy(4,0)2例2．（１）写出圆心为(2,3)A，半径长为5的圆的方程，并判断点(5,7)M，(5,1)N是否在这个圆上；（２）求圆心是(2,3)C，且经过原点的圆的方程。解：（１）∵圆心为(2,3)A，半径长为5∴该圆的标准方程为22(2)(3)25xy把点(5,7)M代入方程的左边2222(52)(73)3425＝右边即点(5,7)M的坐标适合方程，∴点(5,7)M是这个圆上的点；把点(5,1)N的坐标代入方程的左边22(52)(13)134525即点(5,1)N坐标不适合圆的方程，∴点N不在这个圆上；（２）法一：∵圆C的经过坐标原点，∴圆C的半径为2222(20)(30)2313r因此所求的圆的方程为22(2)((3))13xy即22(2)(3)13xy；法二：∵圆心为(2,3)C用心爱心专心∴设圆的方程为222(2)(1)xyr∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即222(02)(01)r即213r∴所求圆的标准方程为：22(2)(3)13xy例3．（１）求以点(1,2)A为圆心，并且和x轴相切的的圆的标准方程；（２）已知两点(4,9)P，(6,3)Q，求以线段PQ为直径的圆的方程．解：（１）∵圆与x轴相切∴该圆的半径即为圆心(1,2)A到x轴的距离2；因此圆的标准方程为22(1)(2)4xy；（２）∵PQ为直径∴PQ的中点M为该圆的圆心即(5,6)M又∵22||(64)(39)436210PQ∴||102PQr∴圆的标准方程为22(5)(6)10xy例4．已知隧道的截面是半径为4m的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为3m，高为3.5m的货车能不能驶入这个隧道？解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：2216(0)xyy将3x代入得21637933.5y即离中心线3m处，隧道的高度低于货车的高度因此，该货车不能驶入这个隧道；思考：假设货车的最大的宽度为am，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？用心爱心专心xAOy3B4略解：将xa代入得216ya即限高为216am2．练习：课本102P练习1,2,3五、回顾小结：1．圆的标准方程及其表示的圆心和半径；2．建系思想和方程思想；六、课外作业：课本第102页习题2.2(1)第1、2、3、题．用心爱心专心
