§1.5投影变换教学目标:一、知识与技能：1、理解投影变换的定义及其几何意义；2、掌握投影变换的矩阵表达式，并能初步运用；3、理解可逆变换的存在条件二、方法与过程1、借助例题的探究，发现投影变换的矩阵形式，寻求逆变换的存在条件；2、体会从具体到抽象再到具体的思想方法三、情感、态度与价值观1、培养学生探究精神和合作精神，体验探索的乐趣和成功的喜悦，从而激发学生学习数学的兴趣；2、让学生感受数学的符号美，领会数学公式的美学意义。教学重点:投影变换矩阵的表达式的推导和简单应用教学难点：1、探索可逆变换的存在条件；2、投影变换矩阵形式的生成思路。教学过程一、新课引入在必修2中，我们已经学过立体几何的平行投影，知道物体在灯光或者日光的照射下，会产生影子。如果把正午的太阳光近似看作垂直向下的平行光，一排排树木的影子会投影到各自的树根处，而它们的正视图可以用图来表示。在图中，树木投影前后可以看作是一个平面几何变换。问题：能用矩阵来刻画这个几何变换吗？解：实际上，对平面上的任意一点（yx,），它垂直投影到x轴上时，横坐标保持不变，纵坐标变为0，特殊地，x轴上的点原地不动。因此，垂直投影前后可以看作是一个几何变换T，并且有0``yxx。所以变换T对应的矩阵为M=0001二、讲解新课：1、投影变换设平面上一条给定的直线l，对平面上任意一点P，过P作PP`垂直于直线l，与直线l交于P`，则P`称为P在l上的投影。将平面上每个点P变到它在l上的投影的变换称为平面到直线l上的投影变换。在平面上建立了直角坐标系，求平面到直线l：的投影变换矩阵用心爱心专心1解如图所示，设为P（yx,）在直线l上的投影为P`（``,yx）。（A，B）是直线l的法向量。``pplPP∥（A，B）),()`,`(BAtyyxxtByytAxx``t是待定系数P`（``,yx）在直线l上，有0``ByAx220)()(BAByAxttByBtAxAyBAAxBAABBBAByAxyyyBAABxBABABAByAxxx22222222222222``所求矩阵为2222222222BAABAABBAABBAB旋转、反射、位似、伸缩变换都是将平面变到整个平面上不同的点。而投影变换则不同，它将整个平面变到一条直线上，而且，与直线垂直的任何一条直线上所有的点都被投影到直线上同一个点。2、投影是否有逆变换投影是否有逆变换？为什么？如图，在任意一条垂直于l的直线m上任取两个不同的点P1，P2，则T将P1，P2变到l上同一点P0。（P0是l，m的交点）平面上任何一个变换T只能将P0变到一个点，不可能将P0同时送回到两个不同的点P1，P2。因此T没有逆变换。由此可见，并非所有的由矩阵决定的变换都有逆变换，要使平面上的变换T有逆变换，必须满足两个条件：1、平面上不同的点被变换T变到不同的点；2、变换T将平面变到整个平面，也就是说：平面上每一个点Q都是平面上某一点P的像T（P）。同时满足这两个条件的变换，称为可逆变换。可逆变换一定有逆变换。如果T是由矩阵dcba决定的变换，则变换前后的点的坐标（yx,），（``,yx）之间有关系dycxybyaxx``①用心爱心专心2如果对任意``,yx，将①看成以yx,为未知数的二元一次方程都有唯一一组解，那么变换T就是可逆变换。三、范例讲解例设变换T是平面到直线l：xy上的投影，求下列图形在变换T作用下的像。（1）直线1l：xy2；（2）直线2l：xy（3）正方形OABC，其中O（0，0），A（2，1），C（1，2）解：直线方程xy，设变换T：P（yx,）P`（``,yx），则有yxyyxx21212121``①（1）当x取遍全体实数时，点P（x，x2）取遍直线xy2上所有的点，将P的坐标代入等式①得P`=T（P）的坐标xxxyx23)2(2121``当x取遍全体实数时，（``,yx）=（x23，x23）取遍直线xy上的所有的点。因此，直线xy2在直线xy上的投影是整条直线xy（2）当x取遍全体实数时，点P（x，x）取遍直线xy上全体实数，P（x，x）的像P`（``,yx）的坐标0)(2121``xxyx，P`（0，0）是原点因此，直线xy的像为原点O（3）先求点B的坐标。由OCO...
