排列【教学目的】理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；能用排列数公式计算。【教学重点】排列、排列数的概念。【教学难点】排列数公式的推导一、问题情景〖问题1〗从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素。〖问题2〗．从,,,abcd这四个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的字母，从余下的3个字母中取，有3种方法；第三步确定右边的字母，从余下的2个字母中取，有2种方法由分步计数原理共有：4×3×2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法二、数学构建1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号mnA只表示排列数，而不表示具体的排列。3．排列数公式及其推导：由2nA的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素用心爱心专心112,,naaa中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数2nA．由分步计数原理完成上述填空共有(1)nn种填法，∴2nA=(1)nn由此，求3nA可以按依次填3个空位来考虑，∴3nA=(1)(2)nnn，求mnA以按依次填m个空位来考虑(1)(2)(1)mnAnnnnm，得排列数公式如下：(1)(2)(1)mnAnnnnm（,,mnNmn）说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1nm，共有m个因数；（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列。全排列数公式如下：(1)(2)21!nnAnnnn（叫做n的阶乘）4．阶乘的概念：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，这时(1)(2)321nnAnnn；把正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘表示：!n，即nnA!n规定0!1．5．排列数的另一个计算公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm(1)(2)(1)()321()(1)321nnnnmnmnmnm!()!nnm即mnA=!()!nnm。三、知识运用【例1】计算：（1）316A；（2）66A；（3）46A．解：（1）316A＝161514＝3360；（2）66A＝6!＝720；（3）46A＝6543＝360。【例2】（1）若17161554mnA，则n，m．（2）若,nN则(55)(56)(68)(69)nnnn用排列数符号表示为．解：（1）n17，m14．用心爱心专心2（2）若,nN则(55)(56)(68)(69)nnnn＝1569nA．【例3】（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）255420A；（2）5554321120A；（3）2141413182A【例4】计算：①66248108!AAA；②11(1)!()!nmmAmn．解：①原式876543216543218710987...
