圆锥曲线与射影几何VIP免费

圆锥曲线与射影几何射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理和结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。例1：设点,D在双曲线的左支上，,直线交双曲线的右支于点。求证：直线与直线的交点在直线上。如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据和特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成：有一点在一条双曲线内部，过引两条直线与双曲线分别交于,,,。连，交于点，且点在四边形外部。又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1连，交于点，连，先证明：直线是点的极线。FGHQPBEOADCNMQPBEOADC证明：对于重合，于重合的六边形用帕斯卡定理得：于的交点,于的交点,于的交点三点共线,同理，，三点共线所以，，，四点共线。又因为是的极线，是的极线，所以是与的交点的极线，即是的极线。回到原图，由极线的定义与性质得，且为调和点列。有了前面的铺垫再证例1就简单了。证明：过点作轴，则是点的极线，为调和点列因为(-1,0),(1,0),(2,0)所以（,0）即在直线上关于极线的知识，下文仍有用到，这里不再叙述。例2：是抛物线的准线上的任意点，过点作抛物线的切线,，切点分别为,(在轴的上方)。（1）求证：直线过定点。（2）过作轴的平行线与抛物线交于，与交于.证明。l2l1lQPMAQ证明：（1）同例一，我们很容易得到是的极线。在准线上再取一点，过点作抛物线的切线,，切点为,,为的极线所以，的交点的极线为即直线过定点（2）易得，，，以及与抛物线另一端的交点为调和点列。因为是无穷远点所以，证毕。仿射几何是射影几何的“子几何”，相对与射影几何，仿射几何有着更为丰富的性质。例3：已知椭圆，求这个椭圆内接三角形的面积的最大值。对于例3，因为面积不是射影不变量，所以我们不能单单用射影变换来解题。我们可以对变换的条件加以限制，使之变成仿射变换，欧式平面上两个几何图形的面积比是仿射不变量。证明：我们把平面直角坐标系中的每一个点变成，其中，那么椭圆变成圆，变为，如图：32112322M'Q'P'B(b,0)A(a,0)PMQ显然，当为正三角形时，面积最大。此时根据仿射变换的性质，所以例4：作斜率为的直线与椭圆：交于，两点，且在直线的左上方。求证：的内切圆圆心在一条定直线上。证明：由于关于椭圆的计算比较烦杂，我们仍对椭圆作仿射变换。我们把平面直角坐标系中的每一个点变成，其中，8642246855EHCDBPOA猜想这条定直线平行于轴作垂直于轴，与交点为，过点作轴的平行线与交于。若猜想成立，由于，则为调和点列现在证明为调和点列：设，易得，过过点作，垂足为，将两条直线方程联立，解出的横坐标为所以所以的极线过点，即为调和点列由于，则所以的内切圆圆心在上其实，类似的题目还有很多，这里不再叙述。学几何，我们不能局限于解析几何，有时可以跳出来，从几何的本质入手，这样跟有利于我们学习数学。