第2讲等差数列及其前n项和VIP免费

第2讲等差数列及其前n项和一、填空题1．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.[来源解析a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74.答案742．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－＝1，则公差为________．解析依题意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差为6.[来源:学,科,网]答案63．在等差数列{an}中，a1＞0，S4＝S9，则Sn取最大值时，n＝________.解析因为a1＞0，S4＝S9，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，所以从而当n＝6或7时Sn取最大值．答案6或74．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝________.解析 a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9.∴a6－a4＝2d＝9－13＝－4，∴d＝－2，∴a5＝a4＋d＝13－2＝11，∴S9＝＝9a5＝99.答案995．设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.解析由15＝a1＋a2＋a3＝3a2，得a2＝5.所以又公差d＞0，所以所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝3(2＋33)＝3×35＝105.答案1056．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋pn，a7＝11.若ak＋ak＋1＞12，则正整数k的最小值为________．解析因为a7＝S7－S6＝2×72＋7p－2×62－6p＝26＋p＝11，所以p＝－15，Sn＝2n2－15n，an＝Sn－Sn－1＝4n－17(n≥2)，当n＝1时也满足．于是由ak＋ak＋1＝8k－30＞12，得k＞＞5.又k∈N*，所以k≥6，即kmin＝6.答案67．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2n－1(n∈N*)，且为等差数列，则λ的值是________．解析由an＋1＝2an＋2n－1，可得＝＋－，则－＝－－＝－－＝－，当λ的值是－1时，数列是公差为的等差数列．答案－18．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.解析a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，Sk＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.答案39．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．解析 {an}，{bn}为等差数列，∴＋＝＋＝＝＝. ＝＝＝＝，∴＝.答案10．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式an＝________.解析由an＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，得＝＋1，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，an＝n·2n.答案n·2n二、解答题11．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.(1)设Sk＝2550，求a和k的值；(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．解(1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，又a1＋a3＝2a2，∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3.∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.由Sk＝ka1＋d，得2k＋×2＝2550，即k2＋k－2550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)．∴a＝3，k＝50.(2)由Sn＝na1＋d得Sn＝2n＋×2＝n2＋n.∴bn＝＝n＋1，∴{bn}是等差数列，则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n－1＋1)＝.∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝2n2＋2n.12．已知数列{an}的通项公式为an＝2n，若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有解得从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.13．在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n∈N*)，是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解(1)由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0，则由得解得∴an＝4n－3(n∈N*)．(2)由bn＝＝＝， c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n. bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N*)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列．14．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)设cn＝()bn，试问数列{cn}中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在...