第3章学案14VIP专享VIP免费

学案14导数在研究函数中的应用导学目标：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值．自主梳理1．导数和函数单调性的关系：(1)对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的________；如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的________．(2)若在(a，b)的任意子区间内f′(x)都不恒等于0，f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为____函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，⇔f(x)在(a，b)上为____函数．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程________的根；③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的________；(2)将函数y＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．自我检测1．(2010·济宁一模)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则关于y＝f(x)下列说法正确的是________(填序号)．①在(－∞，0)上为减函数；②在x＝0处取极小值；③在(4，＋∞)上为减函数；④在x＝2处取极大值．2．(2009·广东改编)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为______________．3．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围为______________．4．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p是q的________条件．5．(2010·福州模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.探究点一函数的单调性例1已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由．变式迁移1(2009·浙江)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．探究点二函数的极值例2若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．变式迁移2设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三求闭区间上函数的最值例3已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移3已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值．分类讨论求函数的单调区间例(14分)(2009·辽宁)已知函数f(x)＝x2－ax＋(a－1)lnx，a>1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：若a<5，则对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，有>－1.【答题模板】(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝x－a＋＝＝.[3分]①若a－1＝1，即a＝2时，f′(x)＝.故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②若a－1<1，而a>1，故10，故f(x)在(a－1,1)上单调递减，在(0，a－1)，(1，＋∞)上单调递增．③若a－1>1，即a>2时，同理可得f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0,1)，(a－1，＋∞)上单调递增．[7分](2)证明考虑函数g(x)＝f(x)＋x＝x2－ax＋(a－1)lnx＋x.则g...