第3章学案13VIP专享VIP免费

第3章导数及其应用学案13导数的概念及运算导学目标：1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数．自主梳理1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为________________________．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义设f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝____________________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________．(3)导数的物理意义：函数s＝s(t)在点t0处的导数s′(t0)，是物体的运动方程s＝s(t)在t0时刻的瞬时速度v，即v＝__________；v＝v(t)在点t0处的导数v′(t0)，是物体的运动方程v＝v(t)在t0时刻的瞬时加速度a，即a＝____________.3．函数f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内任一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作y′或f′(x)．4．基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝____f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝______(α为常数)f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝______(a>0，a≠1)f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logax(a>0，a≠1，且x>0)f′(x)＝__________f(x)＝lnxf′(x)＝________5.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；(2)[f(x)g(x)]′＝________________；(3)′＝________________________[g(x)≠0]．6．复合函数的求导法则：若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.自我检测1．(2011·中山期末统一考试)已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为________．2．设y＝x2·ex，则y′＝______________.3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.4．(2010·临汾二模)若函数f(x)＝ex＋ae－x的导函数是奇函数，并且曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标是________．5．(2009·湖北)已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，则f()＝________.探究点一利用导数的定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数的导数：(1)f(x)＝在x＝1处的导数；(2)f(x)＝.变式迁移1求函数y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．探究点二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)y＝(1－)；(2)y＝；(3)y＝xex；(4)y＝tanx.变式迁移2求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝.探究点三求复合函数的导数例3求下列函数的导数：(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝；(3)y＝ln(2x＋5)．变式迁移3求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝sin；(3)y＝x.探究点四导数的几何意义例4已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移4求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(...