2013-2014年罗田一中高二年级月考数学（理实）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内z对应的点的坐标是A．（2，4）B．（2，－4）C．（4，－2）D．（4，2）2．已知全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩(∁RB)＝A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜1}D．{x|1＜x＜2}3．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是A．p为真B．﹁q为假C．p∧q为假D．p∨q为真4．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是5．执行右边的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为A．2B．3C．4D．56．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．64B．72C．80D．112数学（理科）试卷第1页（共9页）7．已知双曲线的右顶点为E，过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与该双曲线相交A、B两点，若，则该双曲线的离心率是（）A．B．2C．D．不存在8．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）A．B．C．D．9．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．10．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实数根的个数是A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．若x2dx＝9，则常数T的值为．12．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为边BC上一点，满足\s\up7(→)＝2\s\up7(→)，则\s\up7(→)·\s\up7(→)＝．13．将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影票全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票连号，那么不同的分法种数是．14．在极坐标系中，定点A(2，π)，动点B在直线2sin()42上运动，则线段AB的最短长度为．15．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知命题p：函数是R上的减函数；命题q：在时，不等式恒成立，若pVq是真命题，求实数a的取值范围.数学（理科）试卷第2页（共9页）17．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值．18．（本小题满分12分）如右图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，圆O的直径为9。（1）求证：平面ABCD平在ADE；（2）求二面角D—BC—E的平面角的正切值；19．（本小题满分12分）现有A，B两球队进行友谊比赛，设A队在每局比赛中获胜的概率都是．（Ⅰ）若比赛6局，求A队至多获胜4局的概率；（Ⅱ）若采用“五局三胜”制，求比赛局数ξ的分布列和数学期望．已知函数f(x)＝－alnx，a∈R．（Ⅰ）当f(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的φ(a)，（ⅰ）当a∈(0，＋∞)时，证明：φ(a)≤1；（ⅱ）当a＞0，b＞0时，证明：φ′()≤≤φ′()．解：（Ⅰ）求导数，得f′(x)＝－＝（x＞0）．数学（理科）试卷第3页（共9页）（1）当a≤0时，f′(x)＝＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，无最小值．（2）当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a2．当0＜x＜a2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，a2)上是减函数；当x＞a2时，f′(x)＞0，∴f(x)在(a2，＋∞)上是增函数．∴f(x)在x＝a2处取得最小值f(a2)＝a－alna．故f(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)＝a－alna（a＞0）．………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ(a)＝a－alna（a＞0），求导数，得φ′(a)＝－lna．（ⅰ）令φ′(a)＝0，解得a＝1．当0＜a＜1时，φ′(a)＞0，∴φ(a)在(0，1)上是增函数；当a＞1时，φ′(a)＜0，∴φ(a)在(1，＋∞)上是减函数．∴φ(a)在a＝1处取得最大值φ(1)＝1．故...
