第五章 用变分法解平面问题03-12VIP免费

第五章变分法解平面问题§5－1弹性体的形变势能和外力势能§5－2位移变分方程§5－3位移变分法§5－4位移变分法的例子1)在x方向上，有正应力和正应变,则单位体积的形变势能（又称应变能或内力势能)为：xxdxxd图5-1012xxxxxd3）另外，若在x和y方向上有切应力,xy相应的切应变为,xy则其形变势能为§5－1弹性体的形变势能和外力势能弹性力学中所研究的泛函，就是弹性体的能量（如形变势能、外力势能等），弹性力学的变分法又称能量法形变势能密度1、形变势能2）同理，在y方向上的应变势能为:xx012yyyyyd012xyxyxyxyxyd弹性体有全部六个应力分量：,,,,,xyzyzxyxz则弹性体的全部形变势能密度：112xxyyzzxyxyzxzxyzyzU（a）对于平面问题，则形变势能密度：112xxyyxyxyU（b）整个弹性体的形变势能U为（取h＝1单位）：11()2xxyyxyxyAAUUdxdydxdy（c）ijmxyh图5-24）整个弹性体的形变势能2.1用应变分量表示形变势能22(),(),112(1)xxyyyxxyxyEEE。平面应力问题的物理方程：（d）代入（b）式，得：22121212xyxyxyEU2（）（e）111,,xyxyxyxyUUU结论：弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，就等于相应的应力分量2、形变势能的表示形式2.2用位移分量表示形变势能由几何方程代入（e）式，即得：2221212,221EuvuvvuUxyxyxy（f）2222122(1)2AEuvuvuvUdxdyxyxyxy注：叠加原理不适合于形变势能1212()()UuuUuUu平面应变问题时,将上述各式中的和作如下替换,211EEE外力功：外力（体力和面力）在实际位移上所做的功弹性体受体力和面力作用，平面区域A内的体力分量为、，s边界上的面力分量为、xyff，则xyxyAsWfufvdxdyfufvds（5－17)外力势能为：xyxysVWfufvdxdyfufvds（5－18）3、外力势能xyff§5－2位移变分方程虚位移或者位移变分,uv假想位移分量v、u发生了位移边界条件所容许的微小改变实际位移状态虚位移状态vvvABvvdxdv图5－8x实际位移分量：u，v虚位移状态：'',uuuvvv1、虚位移2、微分和变分的异同1）运算对象不同在微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因变量是函数例如：，由坐标的微分dx引起函数的微分是()vvx在变分运算中，自变量是函数，因变量是泛函。例如，形变势能U是位移函数v的函数，由于位移的变分v引起形变势能的变分是UUvv2）运算方法是相同因为微分和变分都是微量vdvdxx3、外力势能和形变势能的变分由于位移的变分,uv，引起外力功的变分（即外力虚功）和w外力势能的变分V()(),()()xyxyAsxyxyAsWfufvdxdyfufvdsVfufvdxdyfufvds。(5-19)(5-20)(注：外力作为恒力计算）引起形变势能的变分：)xxyyxyxyAUdxdy（（注：应力分量作为恒力计算）4、位移变分方程1）在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。()()xyxyAsUfufvdxdyfufvds（5－22）3）虚功方程将U用式（5－21），表示，再代入位移变分方程（5－22），得到()())xyxyAsxxyyxyxyAfufvdxdyfufvdsdxdy（外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功（条件：弹性体变形前处于平衡状态）（5－24）内力虚功=外力虚功2）极小势能原理在给定的外力作用之下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值...