第18卷第4期2010年12月技术物理教学TECHNICALPHYSICSTEACHINGVoL18No．4Dec．2010电磁场矢势和标势的规范变换及规范不变性的一个实例水李伙全(江苏扬州大学物理科学与技术学院225002)在电磁学中，当考虑由电荷电流分布激发电磁场的问题时，引入标势妒与矢势A给求解电磁场问题带来很大的方便，且标势9与矢势A满足规范变换与规范不变性．近代物理学中，规范变换是作为基本方法而引入的，规范不变性是一种重要的物理原则，在现行的许多教材中，论述了电磁场的标势9与矢势A满足规范变换与规范不变性，并从一般情况下电磁场满足的麦克斯韦方程组出发，论述了库仑规范和洛伦兹规范，并且分析了在库仑规范和洛伦兹规范下标势妒与矢势A满足的电磁场方程、对方程进行求解，分别得到库仑势与洛伦兹势．但现行的许多教材中没有提及在采用库仑规范时得到的库仑势妒库和A库与采用洛伦兹规范得到的洛伦兹势妒洛和A洛二者之间的联系．电磁场的标势9与矢势A具有规范不变性，如果能将库仑势经过一个规范变换后成为洛伦兹势，并将此作为势的规范变换与规范不变性的一个实例引入到教学中，必能加深学生对规范变换与规范不变性的理解，从而强化教学效果．这正是本文要探讨的主要问题．1电磁场中标势妒与矢势A的规范变换及规范不变性回顾在一般情况下，真空中的电磁场所满足的规律由麦克斯韦方程组给出，即：V×E=一娑；v×日：_，+警；v．D：p；v．B：0．0Lo‘其中，D=占。E，B=鼬日，p表示体电荷密度，，表示体电流密度，占表示电场强度，日表示磁场强度，曰表示磁感应强度，D表示电位移矢量．在麦克斯韦方方程组中V·B=0，说明静磁场是无源场．定义一矢量A，使得B=VxA，A称为磁场的矢势．矢势A的物理意义是，在任一时刻，A沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过回路内的磁通量．由矢量场的唯一性定理知道，要完全确定A，要求V×A和V·A都有确切的值．在确定的电磁场中，V·A仍不能确定．因此，这样确定的矢势A不唯一．将B：v×A代入v×E：一等得，v×(E+警)=0，因此可引入标势妒，使得E+等=一V妒，从而求出层=一V妒一兽此时，电场日不再是保守力场，标势p失去作为电场中势能的意义．在表达式B=vxA和E=一v9一警中，对矢势A可以加上任意一个函数的梯度，结果不影响B，而且加在A上的梯度部分在E的表达式中，又可以从Vp中消去，结果也不影响E．设沙是具有二阶偏导数的任意时空函数，作变换A—A’=A+V吵，妒一妒’=妒一警，则可得：VxA，：V×A：B，一V妒，—O了A'：一V妒一O，A，=E即(A，，9’)与(A，妒)·本文获扬州大学教改课题支助：项目名称<微电子工艺课程实践教学环节的探索与实践>项目编号：20lO—15本文获扬州大学自然科学基金资助：项目名称<微电子制造中集成电路芯片的微观表征与分析>项目号：2006XJJI卫·l·万方数据第18卷技术物理教学描述同一电磁场．这样的变换称为势的规范变换，每一组(A，9)称为一种规范．由矢势A和标势9所表示的电磁场层和曰，当其矢势A和标势9作规范变换时，层和曰都保持不变，且A和9所满足的势方程也是不变的，称这种不变性为电磁场的规范不变性．从数学上说，规范变换自由度的存在，是由于势的定义式中，只确定A的旋度，而没有确定A的散度．在实际应用中，常用库仑规范和洛伦规范．2在库仑规范与洛伦兹规范下势满足的微分方程及其解库仑势与洛伦兹势根据Hemholz定理可知，由于任意矢量场总可分解为无源(横)场与无旋(纵)场之和，故可将电流密度矢量_，和磁场的矢势A进行如下的分解：．，=^+以(^是无源部分，以是无旋部分)，A=A。+A。(At是无源部分，Aj是无旋部分)．这种分解是唯一的，并且V·Z=0(横场)，V·A。=0(横场)，VxA。=0(纵场)，VxA。=O(纵场)．若已知一个矢量场a的散度与旋度，即已知V·a=石，VX口=以，则a+V宇(V2f=0)也满足以上等式，即a可确定到满足拉普拉斯方程的标量场的梯度．但如果要求a满足在无限远处为0的边界条件，则须f满足V2f=o，fI，。=0，得f=o．于是a就被唯一确定．由麦克斯韦方程组可以推导矢势A和标势妒所满足的基本方程．推导过程如下：将曰=vxA和E=一v9一等代人V×o‘日=J+警及v·D=p得：a‘jV×(VxA)=舶_，一弛占oy39_．V妒一#oeoU■尝，...
