方程组直接三角分解法VIP专享VIP免费

第四章方程组的直接解法4.2直接三角分解法4.2.3平方根法4.2.1一般矩阵的直接三角分解法4.2.2三对角方程组的追赶法第四章方程组的直接解法4.2直接三角分解法4.2.1一般矩阵的直接三角分解法本节讨论矩阵A的三角分解法的直接计算以及直接利用A的三角分解式来求解方程组。1.不选主元的三角分解法),(),(),(ijijijuUlLaA设A=LU，记其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。我们可直接给出L和U的元素的计算公式。由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即（4.2.1）（4.2.2）如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已经算出，则由,,,1,,1nkkjulakrrjkrkj111111,1,2,,,,2,3,,.jjkkuajnalknu第四章方程组的直接解法可得U的第k行元素同理，由ukj=akj-,j=k,k+1,···,n。（4.2.3）11krrjkrulakj=,i=k+1,k+2,···,n,krrkirul1可得L的第k列元素交替使用（4.2.3）和（4.2.4），就能逐次计算出U（按行）和L（按列）的全部元素，而且可以把它们存放在矩阵A对应的位置上（L的对角线元素不必存放）。这就完成了A的LU分解。krrkirul1lik=(aik-)/ukk,i=k+1,k+2,···,n。由（4.2.1）-（4.2.4）求得L和U后，解方程组Ax=b接化接为求解LUx=b，若记Ux=y，则有Ly=b。于是可分两部解方程组LUx=b，只要琢次向前代入的方法即可求得y。第二步求解Ux=y，只要琢次第四章方程组的直接解法用向后回代的方法即可求得x。设x=（x1，x2，···xn)T,y=（y1,y2,···yn)T,b=（b1，b2，···bn)T,则有计算公式1111,...,2,1,yirririiniylbybniriiririinnnnniuxuyxuy1n1,...,2,1,//x（4.2.5）（4.2.6）以上解方程组的计算与顺序Gauss消去法相当。如果有一系列方程组，其系数距阵都是相同的，右端向量b不同，则只须进行一次LU分解计算。上述解方程的方法称为LU分解法，也称Doolittle方法。例4.5用LU分解法求解第四章方程组的直接解法551631011411014211264321xxxx解由（4.2.1）-（4.2.4）计算可得741911091037313231039101615161314126,1111u由（4.2.5）计算得由（4.2.6）计算得Ty=(6,3,23/5,-191/74)Tx=(1,-1,1,-1)第四章方程组的直接解法2.列选主元的三角分解法设从A=A（1）开始已完成k-1步分解计算，U的元素（按行）和L的元素（按列）存放在A的位置，得到)()(1,21)()(1,,11,1322222111211knnknkknnnkknkkkkknkkknnaalllaaluuluuluuuA～该矩阵与顺序Gauss消去法中得到的A（k）是不同的，这种存储方式的形式称为紧凑形式。第四章方程组的直接解法当i=k时，si对应于（4.2.3）中的ukk，它可能不宜在（4.2.4）作除法。当i=k+1,k=2,….n，si对应于（4.2.4）中的分子。记,maxinikikssnkkiulasrkkrirkiki,,1,,11)(现做第k行计算，令),()(~)(kkbA交换的第i行与第行的位置，但每个位置上仍用原记号。然后仍按（4.2.3）计算，算出U的第k行。的计算可用这就算出了L的第k行。nkkjukj,,2,1,iklkinkkissiki,...,2,1,以上分解过程经过n-1步，可得PA=LU，因为b也参加换行计算，所以在其位置上得到Pb。最后再分两步求解方程组LUx=Pb，即求解Ly=Pb和Ux=y。第四章方程组的直接解法例4.6用列选主元的三角分解法解182014252513321321xxx39/21639/7213/53/13/143/43/133/220513),()3()3(~bA由此知,18253/214323/120513),()2()2(~bA由于s2=5/3