2019-2020年人教B版数学必修二讲义:第1章+章末复习课及答案-1-/7三视图与直观图【例1】(1)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为()图1图2ABCD(2)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是()ABCD(1)B(2)D[(1)图2所示的几何体的左视图由点A,D,B1,D1确定外形为正方形,判断的关键是两条对角线AD1和B1C是一实一虚,其中要把AD1和B1C区别开来,故选B.(2)A,B的主视图不符合要求,C的俯视图显然不符合要求,故选D.]三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式,空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质.由空间几何体可以画出它的三视图,同样,2019-2020年人教B版数学必修二讲义:第1章+章末复习课及答案-2-/7由三视图可以想象出空间几何体的形状,两者之间可以相互转化.1.一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、俯视图如图所示,则其左视图为()ABCDC[根据一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、俯视图可得几何体的直观图为:所以左视图如图所示.]空间几何体的表面积与体积【例2】(1)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.13+2πB.13π6C.7π3D.5π2(2)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.12+42B.18+82C.28D.20+82(1)B(2)D[(1)由三视图可知,该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体,其体积为π×12×2+12×13π×12×1=13π6.(2)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图.2019-2020年人教B版数学必修二讲义:第1章+章末复习课及答案-3-/7则该几何体的表面积为S=2×12×2×2+4×2×2+22×4=20+82,故选D.]几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题,如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题,都涉及表面积和体积的计算.特别是特殊的柱、锥、台,在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用,对于圆柱、圆锥、圆台,要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是常用的技巧.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.86πB.46πC.26πD.6π[答案]D空间中的平行关系【例3】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.[思路探究]假设存在满足条件的点F,由于平面AFC∥平面PMD,且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF、PM,则必有AF∥PM,又PB=2MA,则点F是PB的中点.[解]当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD,证明如下:如图连接2019-2020年人教B版数学必修二讲义:第1章+章末复习课及答案-4-/7AC和BD交于点O,连接FO,那么PF=12PB. 四边形ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点.∴OF∥PD.又OF?平面PMD,PD?平面PMD,∴OF∥平面PMD.又MA12PB,∴PFMA.∴四边形AFPM是平行四边形.∴AF∥PM.又AF?平面PMD,PM?平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF?平面AFC,OF?平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行,其中三种关系相互渗透.在解决线面、面面平行问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而利用性质定理时,其顺序相反,且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意,转化的方法由具体题目的条件决定,不能过于呆板僵化,要遵循规律而不局限于规律.3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:AP∥GH.2019-2020年人教B版数学必修二讲义:第1章+章末复习课及答案-5-/7[证明]连接AC交BD于O,连接MO,因为M,O为PC、AC的中点,所以MO∥AP,又因为MO?平面BDM,PA?平面BDM,所以PA∥平面BDM,又因为PA?平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM=GH,所以PA∥GH.空间中的垂直关系【例4】如图所示,在斜三棱...