1立体几何中的向量方法(二)求空间角【考点梳理】1.异面直线所成的角设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围(0,π)求法cosβ=a·b|a||b|cosθ=|cosβ|=|a·b||a||b|2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos〈a,n〉|=|a·n||a||n|.3.求二面角的大小(1)如图①,AB,CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=__〈AB→,CD→〉.(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).【考点突破】考点一、利用空间向量求异面直线所成的角【例1】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.22[答案]C2[解析]建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,设BC=2,则B(0,2,0),A(2,0,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以BM→=(1,-1,2),AN→=(-1,0,2),故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ=|BM→·AN→||BM→|·|AN→|=36×5=3010.【类题通法】1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:①选好基底或建立空间直角坐标系;②求出两直线的方向向量v1,v2;③代入公式|cos〈v1,v2〉|=|v1·v2||v1||v2|求解.2.两异面直线所成角的范围是θ∈0,π2,两向量的夹角α的范围是[0,π],当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线的夹角.【对点训练】在正方体A1B1C1D1-ABCD中,AC与B1D所成的角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2[答案]C[解析]建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0).∴AC→=(1,1,0),B1D→=(-1,1,-1), AC→·B1D→=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0,∴AC→⊥B1D→,∴AC与B1D所成的角为π2.3考点二、利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B=B1A=AB=BC,∠B1BC=90°,D为AC的中点,AB⊥B1D.(1)求证:平面ABB1A1⊥平面ABC;(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值.[解析](1)取AB中点为O,连接OD,OB1, B1B=B1A,∴OB1⊥AB.又AB⊥B1D,OB1∩B1D=B1,∴AB⊥平面B1OD, OD?平面B1OD,∴AB⊥OD. ∠B1BC=90°,即BC⊥BB1,又OD∥BC,∴OD⊥BB1,又AB∩BB1=B,∴OD⊥平面ABB1A1,又OD?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABB1A1.(2)由(1)知,OB,OD,OB1两两垂直.以O为坐标原点,OB→的方向为x轴的方向,|OB→|为单位长度1,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.4由题设知B1(0,0,3),D(0,1,0),A(-1,0,0),C(1,2,0),C1(0,2,3).则B1D→=(0,1,-3),AC→=(2,2,0),CC1→=(-1,0,3).设平面ACC1A1的一个法向量为m=(x,y,z),则由m·AC→=0,m·CC1→=0,得x+y=0,-x+3z=0,取m=(3,-3,1).∴cos〈B1D→,m〉=B1D→·m|B1D→||m|=0×3+1×(-3)+(-3)×102+12+(-3)2×(3)2+(-3)2+12=-217,∴直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值为217.【类题通法】利用向量法求线面角的方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角.【对点训练】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,AB=AC=1,BB1=2,∠ABB1=60°.(1)证明:AB⊥B1C;(2)若B1C=2,求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.[解析](1)连接AB1,在△ABB1中,AB=1,BB1=2,∠ABB1=60°,由余弦定理得,AB21=AB2+BB21-2AB·BB1·cos∠ABB1=3,∴AB1=3,∴BB21=AB2+AB21,∴AB1⊥AB.5又△ABC为等腰直角三角形,且AB=AC,∴AC⊥AB, AC∩AB1=A,∴AB⊥平面AB1C.又B1C?平面AB1C,∴AB⊥B1C.(2) AB1=3,AB=AC=1,B1C=2,∴B1C2=AB2...