2019高考数学考点突破——空间向量与立体几何：立体几何中的向量方法二求空间角学案VIP专享VIP免费

1立体几何中的向量方法（二）求空间角【考点梳理】1.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围(0，π)求法cosβ＝a·b|a||b|cosθ＝|cosβ|＝|a·b||a||b|2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB→，CD→〉.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).【考点突破】考点一、利用空间向量求异面直线所成的角【例1】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A．110B．25C．3010D．22[答案]C2[解析]建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，设BC＝2，则B(0，2，0)，A(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM→＝(1，－1，2)，AN→＝(－1，0，2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝|BM→·AN→||BM→|·|AN→|＝36×5＝3010.【类题通法】1．利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v1，v2；③代入公式|cos〈v1，v2〉|＝|v1·v2||v1||v2|求解.2．两异面直线所成角的范围是θ∈0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【对点训练】在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为()A．π6B．π4C．π3D．π2[答案]C[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).∴AC→＝(1，1，0)，B1D→＝(－1，1，－1)， AC→·B1D→＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴AC→⊥B1D→，∴AC与B1D所成的角为π2.3考点二、利用空间向量求直线与平面所成的角【例2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值.[解析](1)取AB中点为O，连接OD，OB1， B1B＝B1A，∴OB1⊥AB.又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，∴AB⊥平面B1OD， OD?平面B1OD，∴AB⊥OD. ∠B1BC＝90°，即BC⊥BB1，又OD∥BC，∴OD⊥BB1，又AB∩BB1＝B，∴OD⊥平面ABB1A1，又OD?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABB1A1.(2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直.以O为坐标原点，OB→的方向为x轴的方向，|OB→|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.4由题设知B1(0，0，3)，D(0，1，0)，A(－1，0，0)，C(1，2，0)，C1(0，2，3).则B1D→＝(0，1，－3)，AC→＝(2，2，0)，CC1→＝(－1，0，3).设平面ACC1A1的一个法向量为m＝(x，y，z)，则由m·AC→＝0，m·CC1→＝0，得x＋y＝0，－x＋3z＝0，取m＝(3，－3，1).∴cos〈B1D→，m〉＝B1D→·m|B1D→||m|＝0×3＋1×（－3）＋（－3）×102＋12＋（－3）2×（3）2＋（－3）2＋12＝－217，∴直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值为217.【类题通法】利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【对点训练】如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°.(1)证明：AB⊥B1C；(2)若B1C＝2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值.[解析](1)连接AB1，在△ABB1中，AB＝1，BB1＝2，∠ABB1＝60°，由余弦定理得，AB21＝AB2＋BB21－2AB·BB1·cos∠ABB1＝3，∴AB1＝3，∴BB21＝AB2＋AB21，∴AB1⊥AB.5又△ABC为等腰直角三角形，且AB＝AC，∴AC⊥AB， AC∩AB1＝A，∴AB⊥平面AB1C.又B1C?平面AB1C，∴AB⊥B1C.(2) AB1＝3，AB＝AC＝1，B1C＝2，∴B1C2＝AB2...