2008-2009淮阴中学高一数学竞赛学案NO.2编制：胡飞虎等差数列、等比数列例1.设等差数列的首项与公差均为非负整数，项数不小于3，且各项之和为972，则这样的数列有多少个？解：设等差数列的首项为，公差为。由已知有，即。又因为，所以只可能取，又因为且均为整数，故；若，由于为正数，则，即，故，这时有或；若，则，这时有或例2.各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有多少项。例3.在数列中，，其中（1）求数列的通项公式（2）求数列的前n项和（3）证明存在，使得对任意均成立（十年高考NO.153）例4.已知数列中，且，其中k=1,2,3,….(1)求（2）求的通项公式。（十年高考NO.155）例5.数列的定义如下：，且当时，有已知，求正整数n．解:由题设易知，．又由，可得，当n为偶数时，；当2008-2009淮阴中学高一数学竞赛学案NO.2编制：胡飞虎是奇数时，．………………（4分）由，所以n为偶数，于是，所以，是奇数．于是依次可得：，是偶数，，是奇数，，是偶数，，是奇数，，是偶数，，是偶数，，是奇数，……………（9分），是偶数，，是奇数，，是偶数，，所以，，得n＝238例6.已知数列都是等差数列，对一切(1)求的值。（2）求使为整数的所有正整数n.例7.已知数列满足，，，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小．【解】令，由题设，2008-2009淮阴中学高一数学竞赛学案NO.2编制：胡飞虎有，且………5分于是，即．∴．（※）…………………10分又，，则．∴当的值最小时，应有，，且．即，．……………………15分由（※）式，得由于，且，解得，∴当时，的值最小．……………………………………………20分例8.数列满足：证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数。证明：（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得①②①-②得③由③式及可知，对任意为正整数.…………………………10分（2）将①两边配方，得④由③≡∴≡≡0（mod3）∴为正整数2008-2009淮阴中学高一数学竞赛学案NO.2编制：胡飞虎④式成立.是完全平方数.……………………………………20分
