欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！专题06超越不等式（方程）【方法点拨】含有指对运算的方程(或不等式)称之为超越方程(或超越不等式),实现解这类方程、不等式，一般是构造函数，利用函数的单调性来解决.【典型题示例】例1（2021·江苏无锡天一·12月八省联考热身卷·7）已知点P为函数lnfxx的图象上任意一点，点Q为圆2211xeye上任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（）A．21eeeB．221eeeC．21eeeD．11ee【答案】A【解析】考虑从“形”的角度切入，与已知圆同心且与lnfxx相切的圆的半径与已知圆的半径之差即为所求如下图设该圆与lnfxx相切的切点为00(,ln)Qxx则由导数的几何意义、圆的切线性质得000ln111eexxx即2000ln01eexxx，此为超越方程，应先猜根，易知0xe为其中一个根设2()ln1eefxxxx，则1()201eefxxx，()fx单调递减12345678910–112–1–2–3–4–5–6O欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！故0xe为其唯一的一个根，此时切点为,1e所以PQ的长度的最小值为2221111eeeeee，故选A.例2已知函数2e()xfxxaxa(aR)，其中e为自然对数的底数，若函数()fx的定义域为R，且(2)()ffa，求a的取值范围．【答案】(2，4)【解析】由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立，所以a2－4a＜0，解得0＜a＜4．方法1（讨论单调性）由f(x)＝exx2－ax＋a，得f'(x)＝ex(x－a)(x－2)(x2－ax＋a)2．①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意．②当0＜a＜2时，因为当a＜x＜2时，f′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递减，所以f(a)＞f(2)，不符题意．③当2＜a＜4时，因为当2＜x＜a时，f′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减，所以f(a)＜f(2)，满足题意．综上，a的取值范围为(2，4)．方法2（转化为解超越不等式，先猜根再使用单调性）由f(2)＞f(a)，得e24－a＞eaa．因为0＜a＜4，所以不等式可化为e2＞eaa(4－a)．设函数g(x)＝exx(4－x)－e2，0＜x＜4．因为g'(x)＝ex·－(x－2)2x2≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减．又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)．所以，a的取值范围为(2，4)．例3已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！的取值范围为．【答案】0,1【解析】易得f(1)＝f(e)=0∵1(1)()1exefxxx∴当(0,1)xe时，()0fx，()fx在(0,1)e单减；当(1,)xe时，()0fx，()fx在(1,)e单增∴()0fx的解集是1xe令1xee，得01x，故f(ex)＜0的x的取值范围为0,1．欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！【巩固训练】1.已知函数()21xfxx，则不等式()0fx的解集是（）．A.(1,1)B.(,1)(1,)C.(0,1)D.(,0)(1,)2.关于的不等式的解集为___________.3.方程eelne0xxx的根是___________.4.已知、分别是方程510xx、510xx的根，则＋的值是.5.已知实数x、y满足22111xxyy，则2234662020xxyyxy的值是.6.不等式1ln0xxx的解集是.7.方程33123340xxx的根是.x2ln10xx欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！【答案与提示】1.【答案】D【分析】作出函数2xy和1yx的图象，观察图象可得结果.【解析】因为21xfxx，所以0fx等价于21xx，在同一直角坐标系中作出2xy和1yx的图象如图：坐标为(0,1),(1,2)，两函数图象的交点不等式21xx的解为0x或1x.所以不等式0fx的解集为：,01,.2.【答案】[1,)【提示】设2()ln1fxxx，则1()20fxxx，(1)0f，()fx单增.3.【答案】1【解析】设()eelnxxxxe，则e()(1)e0xxxx，所以()x单调递增，因为(1)0，所以1x.4.【答案】－1【提示】设5()1fxxx，则4()510fxx，()fx单增.由510，55510得5代入510得5510，即10，得＋＝－1.5.【答案】2020欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！【提示】两边取自然对数得22ln1ln10xxyy设2()ln1fxxx，则易得其为R上的单增奇函数所以0xy，故2234662020()(4)6()20202020xxyyxyxyxyxy.6.【答案】(0,1]【解法一】显然1x是方程1ln0xxx一个根令1()lnfxxxx，则22222111112()10xxxfxxxxx故()fx在(0,)单增，且(1)0f所以不等式1ln0xxx的解集是(0,1].【解法二】1ln0xxx变形为1lnxxx设1()fxxx，()lngxx而1()fxxx在(0,)单减，()lngxx在(0,)单增，且图象均过（1,0）所以不等式1ln0xxx的解集是(0,1].7.【答案】43【分析】利用“同构”构造函数，再利用函数的单调性.【解析】原方程可化为331123230xxxx设3()fxxx，易得其为R上的单增奇函数所以1230xx，43x即为所求.
