直线与椭圆的位置关系教案祁东二中数学组龙鹏一、教学目标（1）知识与技能1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；2.掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；3.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧.（2）过程与方法进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想.（3）情感态度与价值观通过椭圆的学习，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．二、教学重点直线与椭圆的位置关系的判断方法,求弦长,中点弦问题.三、教学难点学生解题综合能力的培养，弦长公式的推导过程.四、教学用具多媒体课件辅助教学.五、教学过程（1）知识回顾直线与圆的位置关系有3种：相离，相切，相交.判断方法：方法一：几何法方法二：代数法（2）知识深化1.直线与椭圆的位置关系思考：直线与椭圆的位置关系有哪些？如何判断？直线与椭圆的位置关系有：相离，相切，相交.由方程组消元整理得到关于x（或y）的一个一元二次方程,当直线与椭圆相交；当直线与椭圆相切；当直线与椭圆相离.例1.当取何值时，直线与椭圆没有公共点.解：由得∵直线与椭圆没有公共点∴解得变式训练一已知直线与椭圆，判断它们的位置关系.解：联立方程组消去得：①∵∴方程①有两个根则原方程组有两组解∴题中直线与椭圆相交.问题：相交所得的弦的弦长是多少？设直线与椭圆相交于两点，且，方法一：解方程得：∴，∴方法二：由韦达定理：2.弦长问题设直线与椭圆交于，两点，则①当直线斜率不存在时，②当直线斜率存在时，有弦长公式：例2.已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，求弦AB的长度.解：由椭圆方程知：右焦点直线方程为：设，变式训练二1.过椭圆的右焦点与轴垂直的直线与椭圆交于两点，则弦长AB.（答案：）2.已知椭圆的左右焦点分别为，若过点及的直线交椭圆于两点，则AB.（答案：）3.中点弦问题例3.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求此弦所在的直线方程.方法一（韦达定理法）：解：设所求直线方程为：代入椭圆方程并整理得：设直线与椭圆的交点为，∴是上述方程的两根∵为弦的中点∴解得：∴所求直线方程为：即方法二（点差法）：解：设直线与椭圆的交点为，∵为弦的中点∵在椭圆上∴所求直线方程为：即【总结】点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．设直线与椭圆的交点为，，弦的中点则有又∵，在椭圆上两式相减得：【方法规律总结】1．中点弦问题常用“点差法”求解，即是弦的中点，，在椭圆上，将坐标代入椭圆方程两式相减，然后结合，及求解．2．注意“设而不求，整体代换”方法的应用．变式训练三1.直线被椭圆所截的弦的中点坐标为（）（答案：C）A.B.C.D.2.(2013·课标全国卷Ⅰ)已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为.（答案：）（3）课时小结1.直线与椭圆的三种位置关系及判断方法由方程组消去其中一元得一元二次型方程当相交；当相切；当相离.2.弦长的计算方法设直线与椭圆交于，两点①当直线斜率不存在时，②当直线斜率存在时，有弦长公式：3.弦中点问题的两种处理方法（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率.（4）课后作业1.已知椭圆与直线.（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点；（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线方程.2.求直线被椭圆截得的弦的中点坐标.3.已知点是直线被椭圆所截得的弦的中点，求直线的方程.六、板书设计直线与椭圆的位置关系1.位置关系的判断2.弦长的计算方法3.中点弦问题七、教学反思
