矩阵的广义逆VIP免费

矩阵的广义逆矩阵的广义逆ThePseudoinverseThePseudoinverse矩阵的广义逆矩阵的广义逆概述概述：：矩阵的逆：矩阵的逆：AAnnnn，，BBnnnn，，BA=AB=I,BA=AB=I,则则B=AB=A––11广义逆的目标：广义逆的目标：逆的推广逆的推广对一般的矩阵对一般的矩阵AAmmnn可建立部分逆的性质。可建立部分逆的性质。当矩阵当矩阵AAnnnn可逆时，广义逆与逆相一致。可逆时，广义逆与逆相一致。可以用广义逆作求解方程组可以用广义逆作求解方程组AX=bAX=b的理论分析。的理论分析。§4.1§4.1矩阵的左逆与右逆矩阵的左逆与右逆一、满秩矩阵和单侧逆一、满秩矩阵和单侧逆11、左逆和右逆的定义、左逆和右逆的定义定义定义44..11((PP..9393))•AACCmmnn，，BBCCnnmm，，BA=IBA=Inn，，则称则称矩阵矩阵BB为矩阵为矩阵AA的的左左逆，记为逆，记为B=B=。。1LA1RA例题例题11矩阵矩阵AA的左逆的左逆A=A=。。121001•AACCmmnn，，CCCCnnmm，，AC=IAC=Imm，，则称矩阵则称矩阵CC为为矩阵矩阵AA的的右右逆，记为逆，记为C=C=。。22、左逆和右逆存在的条件、左逆和右逆存在的条件的存在性的存在性1LA直观分析直观分析1LA存在存在矩阵矩阵AA列满列满秩秩==（（AAHHAA））––11AAHH1LA定理定理44.1.1((PP..9393))设设AACCmmnn，下列条件等价，下列条件等价1.1.AA左可逆左可逆2.2.AA的零空间的零空间NN（（AA））={0}={0}。。3.3.mmnn，，秩（秩（AA））=n=n，，即矩阵即矩阵AA是列满秩的。是列满秩的。4.4.矩阵矩阵AAHHAA可逆。可逆。例题例题22求矩阵求矩阵A=A=的左逆。的左逆。121001矩阵右逆的存在性矩阵右逆的存在性定理定理4.24.2((PP..9494))AACCmmnn，，则下列条件等价：则下列条件等价：1.1.矩阵矩阵AA右可逆。右可逆。2.2.AA的列空间的列空间RR（（AA））=C=Cmm3.3.nnmm，，秩（秩（AA））=m=m，，AA是行满秩的。是行满秩的。4.4.矩阵矩阵AAAAHH可逆可逆==AAHH（（AAAAHH））––111RA讨论：可逆矩阵讨论：可逆矩阵AAnnnn的左、右逆和逆的关系的左、右逆和逆的关系可逆矩阵可逆矩阵AA的左、右逆就是矩阵的左、右逆就是矩阵AA的逆的逆AAAA––11==（（AAHHAA））––11AAHH==AAHH（（AAAAHH））––11二、单侧逆和求解线性方程组二、单侧逆和求解线性方程组AX=bAX=b讨论讨论AX=bAX=b有解与左、右逆存在的关系。有解与左、右逆存在的关系。借助于左、右逆求借助于左、右逆求AX=bAX=b的形如的形如X=BbX=Bb的解。的解。11、右可逆矩阵、右可逆矩阵定理定理4444((PP..9595))1.1.AACCmmnn右可逆，则右可逆，则bbCCmm，，AX=bAX=b有解。有解。2.2.X=bX=b是方程组是方程组AX=bAX=b的解。的解。1RA二、单侧逆和求解线性方程组二、单侧逆和求解线性方程组AX=bAX=b22、左可逆矩阵、左可逆矩阵求解分析：求解分析：定理定理4433((PP..9494))设矩阵设矩阵AACCmmnn左可逆，左可逆，BB是矩阵是矩阵AA的任何一个左逆，则的任何一个左逆，则AX=bAX=b有形如有形如X=BbX=Bb的解的充要条件是的解的充要条件是((IImm––ABAB))b=0b=0(¤)(¤)当当(¤)(¤)式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是X=X=（（AAHHAA））––11AAHHbb证明：证明：讨论讨论：：对任何满足式对任何满足式((¤¤))的左逆的左逆BB，，X=BbX=Bb都是方程组都是方程组的的解，如何解释方程组的解是惟一的？解，如何解释方程组的解是惟一的？§4.2§4.2广义逆矩阵广义逆矩阵思想思想：用公理来定义广义逆。用公理来定义广义逆。一、减号广义逆一、减号广义逆定义定义44..22((PP..9595))AACCmmnn，如果，，如果，GGCCnnmm使得，使得，AGA=AAGA=A，，则矩阵则矩阵GG为的为的AA减号广义逆。或减号广义逆。或{1}{1}逆。逆。AA的减号逆集合的减号逆集合A{1}={AA{1}={A11––11，，AA22––11，，，，AAkk––11}}例题例题11AACCnnnn可逆，则可逆，则AA––11A{1}A{1}...