六、模式耦合理论•2.模式横向耦合理论•3.模式纵向耦合理论•1.模式正交性与完备性前几节中，分别用几何光学方法和电磁理论方法分析了光纤中的电磁波传播问题。用电磁理论方法求解时，建立的一个重要的要概念是模式，分别讨论了电磁导波模式的两种不同表达方式，即矢量模和标量模。这种理想的光波导的导波模式满足边界条件，被称为正规模。正规模满足模式的正交性和完备性。可以证明，光波导纤维中实际可以存在的任何电磁场必然可以表示为有限多个离散的导波模式和具有连续谱的辐射模式的叠加.，这就是所谓模式完备性。•1.模式的完备性与正交性上式中，表示第j个向正Z轴方向传播的导波模的电磁场矢量，而表示第j个向负Z轴方向传播的场的电磁场矢量，则是辐射模。式中的系数由模式的正交性和激励条件决定.jjHE,jjHE,radradHE,61jjjjradjjjjjjradjjEaEaEEHaHaHH数学上，模式的完备性表示为模式正交性指的是光波导中各导波模式在无损耗条件下独立传播，不同模式之间没有能量耦合.数学上，模式的正交性表示为062titjtitjssEHdsEHdsij式中各场量都表示横向磁场，而面积分是在包括包层的光纤整个横截面S上进行的。(6-2)是两个导波模式之间的正交关系。可以证明每个导波模也与辐射模正交，即满足如下数学关系063tjtradtradtjssEHdsEHds模式的正交性是可以通过Lorentz互易定理证明的。**064sEHEHds上述导波模式之间，以及导波模式和辐射模式之间的完备性与正交性对于单根的理想光纤是成立的。实际上，任何光纤都不可能是理想光纤；光纤会存在损耗，几何形状也会因实际工艺的影响而有微小的变化，波导周围也可能有其他导波结构或障碍物存在，在这些非理想情形下，光波导模式之间都会有能量的耦合。我们将关注两根平行光纤之间存在的模式横向耦合问题，还有光纤纵向不均匀性引起的模式纵向耦合问题。如右图示，两根互相平行的光纤，构成了一个耦合波导系统.由于有另一根光纤的存在，无论是光纤1还是光纤2中的光波场都将受到另一根光纤中光波场的影响。•2.模式的横向耦合理论两根互相平行的光波导为分析两根相互靠近的光纤的影响，首先假设两根光纤单独存在时的场量分别为周围波导内波导周围波导内波导1H1HH11111121011012101101zjzjzjzjeeeEeEEa.)只有波导1存在时b).只有波导2存在时周围波导内波导周围波导内波导2H2HH22222220210222021022zjzjzjzjeeeEeEE上述各表达式中的各场量都是单根理想光纤存在时的导波模式。如果光纤是单模光纤，则各场量是光纤的主模式；如果是多模光纤则应理解为光纤中可能存在的传播模式的完备组合。当波导1和波导2同时存在并相互靠近时，它们之间将产生相互影响，严格的解应是将这两根光纤作为一个统一的耦合波导系统，去求解一个统一的电磁场边值问题。求解如此复杂的电磁场边值问题是极为困难的，而且一般也没有解析解。但是在两个波导之间的耦合较弱的情况时，我们可以假设耦合波导系统的场是原来波导1和波导2单独存在时的场的一个组合，即1122112265EAzEAzEHAzHAzH必须注意到的是，上式说明光纤1和光纤2同时存在时，总的光波场已不是两根光纤场量的简单叠加。由于相互作用的影响，两根光纤的场量叠加形成的总场量是随z变化的。也就是说，它们的叠加系数是随着距离z变化的。如果将光纤1和光纤2中的光波模式写为如下形式1122110110210210;66;jzjzjzjzEEeHHeEEeHHe则耦合波的形式为11022011022067EazEazEHazHazH其中12112268jzjzazAzeazAze则根据理想的单根光波导满足的正交性，以及场量电场部分和磁场部分满足的麦克斯韦方程可以得到耦合波方程为11121222212169dazjazjKazdzdazjazjKazdz...
