14.3.5全零点格型结构1973年，Gray和Markel提出一种新的系统结构形式，即格型结构（latticestructure）。这是一种很有用的结构，在功率谱估计、语音处理、自适应滤波等方面以得到了广泛的应用。这种结构的优点是，对有限字长效应的敏感度低，且适合递推算法。这种结构有三种形式，即适用于FIR系统的全极点格型结构和适用于IIR系统的全极点和零极点格型结构。下面先介绍图7.10所示的全零点格型结构。其他两种个性结构将留到第4.3节讨论。格型结构是由多个基本单元级联起来的一种极为规范化的结构。图7.11示出其中的第m极。与FIR滤波器的直接型结构一样，全零点格型结构也是没有反馈支路的，图7.10全零点格型结构图7.11全零点格型结构的基本单元让我们从一组FIR滤波器的系统函数开始研究全零点格型结构。图7.10中，以)(nx为输入序列，后接M个格型级，这样就形成M个滤波器：第m（Mm,...,2,1）个滤波器有两个输出，即上输出)(nfm和下输出)(ngm。以)(nfm为输出的滤波器称为前向滤波器；以)(ngm为输出的滤波器称为后向滤波器。对于M个前向FIR滤波器，它们的系统函数为：,...,M,mzAzHmm21),()(（18）式中，)(zAm是多项式：1,)(1)(1MmzkazAkmkmm（19）这里，为了数学推导的方便，令式子右边第1项为1；下标m代表滤波器序号，也代表滤波2器的阶数，例如，给定1)0(a以及)(),...,2(),1(Maaa，则第4个滤波器的系统函数为443424144)4()3()2()1(1)(zazazazazH设第m个滤波器的输入、输出序列分别是)(nx和)(ny，则)()()()(1knxkanxnymkm（21）其直接型实现如图12所示。图7.12FIR滤波器的一种直接实现形式1m阶滤波器的输出可表示为)1()1()()(1nxanxny（22）该输出也可以从图12所示的第一级格型滤波器得到。图中，两个输入端联在一起，激励信号为)(nx。从两个输出端得到的信号分别为)(1nf和)(1ng：)1()()()1()()(0101nxnxkngnxknxnf（23）其次我们考虑二阶FIR滤波器，它的直接型结构输出为)2()2()1()1()()(22nxanxanxnyT22)]2()1(2)][1-(1)-()([aanxnxnx（24）上式将输出)(ny表示为两个向量的内积，T表示向量转置。相应地，这个二阶滤波器可以用两个级联的格型单元（图10前面的两级）来实现。，图中，第一级的输出为)1()()()1()()(1111nxnxkngnxknxnf（25）)1()()()1()()(11221212ngnfkngngknfnf（26）将式（25）中的)(1nf代入式（26）中，得3)]2()1([)1()()(1212nxnxkknxknxnf)2()1()1()(221nxknxkknx（27）现在令式（24）和式（27）的系数相等，即)1()1(,)2(21222kkaka（28）于是，得二阶格型结构的参数)2(1)1(),2(22122aakak（29）其中，)2(22ak这个结果是很容易理解的。从图7.12看，如果滤波器阶数2m，则时延为2的输入输出传输值为)2(2a，而从图7.10看，从输入到上端输出有三条可能的支路，而其中时延为2的支路传输值为1k。如果这两个流图等效，则应有)2(22ak。因此可以推论，若有m个格型级，则其最右边的支路mk与直接型结构的参数)(mam相等：)(makmm（30）为了得到其它支路传输值121,...,,kkkmm与直接型结构的参数之间的关系，我们需要从图7.10所示的M阶格型结构的最右边做起：根据M阶滤波器的直接型参数，依次求1M，1,...,3,2MM阶滤波器的直接型参数。这是降阶递推。只要求出m阶滤波器的系数组},...,2,1),({mkkam，则格型结构的支路传输)(makmm。式（29）表明，二阶格型结构的两个参数1k和2k可以根据直接型结构的参数求出。继续这个过程，可以得到一个m阶直接型FIR滤波器和一个m阶或m级格型滤波器之间的等效性。按照图7.10，格型滤波器可用递归方程描述为)()()(00nxngnf（31）121),1()()(11,...,M-,mngknfnfmmmm（32）121),1()()(11,...,M-,mngnfkngmmmm（33）因此，第1M-级滤波器的输出相当于1M-阶FIR滤波器的输出，即(n)fy(n)M1（34）因为FIR滤波器和格型滤波器的输出)(nfm可以表示为41)0()()()(0mmkmmaknxkanf（35）而这个式子是两个序列的卷积和，所以它遵从z变换关系)()()(zXzAzFmm故)()()()()(0zFzFzXzFzAmmm（36）现在我们来看二级格型滤波器的另一个输出)(2ng。由图7.10得)1()()(1122ngnfkng)2()1()]1()([112nxnxknxknxk)2()1()1()(212nxnxkknxk)2()1()1()()2(22nxnxanxaT221])1()2()][2...
