直线方程（知识整理）.一．基础知识回顾（1）直线的倾斜角一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.（2）直线方程的几种形式点斜式、截距式、两点式、斜截式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.附直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.（3）两条直线的位置关系10两条直线平行∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.20两条直线垂直两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.（即是垂直的充要条件）（4）两条直线的交角①直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.②两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.（5）点到直线的距离①点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.②两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离.（6）对称问题：①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线对称的解法：y换x，x换y.例：曲线f(x,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2,x–2)=0.②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(a–x,2b–y)=0.二．范例解析例1．已知直线l过点P(-1,1)且与A(-2,3)、B(3,2)为端点的线段相交，试求直线l倾斜角的取值范围。［思路］1）分别求出直线PA、PB的斜率；2）数形结合，利用正切函数的单调性求解。［破解］1）先求出；2）由图7-3知，满足题意的直线l的斜率为。因为直线l的倾斜角，而上分别是增函数，从而知，又知也满足条件，故倾斜角取值范围为［收获］1）直线的斜率是判定两直线位置关系的重要依据；2）数形结合思想方法是求解解析几何问题的重要方法之一；3）已知斜率范围探求倾斜角的范围，最关键的一环是利用正切函数的单调性处理。例2．ABC的顶点，试求∠A平分线AT所在直线方程。［思路］利用角平线性质∠CAT=∠BAT结合到角公式求出直线AT的斜率即可。［破解］如图7-1，由已知易求。由角平线的性质∠CAT=∠BAT知AC到AT的角与AT到AB的角相等。即可求出，从而∠A平分线AT所在直线方程为：［收获］1）充分利用平面几何性质将问题转化成解析几何中的有关问题是研究平面几何问题的关键。2）注意夹角与到角公式的区别，分清什么时候用夹角（或到角）公式，以免产生错解。3）处理有关几何问题最好作出图形增强直观效果，为寻找解题突破口提供依据。例3．某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距am,bm,(a＞b)新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjk...
