最小二乘法在中学物理实验中的应用VIP专享VIP免费

�物理竞赛�巧用运动的分解�速解竞赛压轴题孔兴隆(温州市龙湾区教师发展中心�浙江温州�325011)��题目�(2010年第27届全国中学生物理竞赛预赛第18题)超声波流量计是利用液体流速对超声波传播速度的影响来测量液体流速,再通过流速来确定流量的仪器.一种超声波流量计的原理示意如图1所示.在充满流动液体(管道横截面上各点流速相同)管道两侧外表面上P1和P2处(与管道轴线在同一平面内),各置一超声波脉冲发射器T1、T2和接收器R1、R2.位于P1处的超声波脉冲发射器T1向被测液体发射超声脉冲,当位于P2处的接收器R2接收到超声脉冲时,发射器T2立即向被测液体发射超声脉冲.如果知道了超声脉冲从P1传播到P2所经历的时间t1和超声脉冲从P2传播到P1所经历的时间t2,又知道了P1、P2两点的距离l以及l沿管道轴线的投影b,管道中液体的流速u便可求得,试求u.解�如图2、3所示,设超声脉冲相对液体的速度为c,从P1传播到P2时超声脉冲相对液体的速度c与管道的夹角为�,从P2传播到P1时超声脉冲相对液体的速度c与管道的夹角为�,则由运动的分解可得(ccos�-u)t1-b,则cos�=b+ut1ct1,(csin�)t1=l2-b2,则sin�=l2-b2ct1,(ccos�+u)t2=b,则cos�=b-ut2ct2,(csin�)t2=l2-b2,则sin�=l2-b2ct2,由sin2�+cos2�=sin2�+cos2�得(l2-b2ct1)2+(b+ut1ct1)2=(l2-b2ct2)2+(b+ut2ct2)2,化简得2ubt1t2=l2(t1-t2),即u=l2(t1-t2)2bt1t2.评析�参考答案解法一用速度叠加并结合余弦定理、求根公式求解,计算量很大.解法二采用近似法,但不容易想到.笔者提供的解法从常见的运动的分解出发,并充分利用角度间的数学关系,也能较快地求出结果.最小二乘法在中学物理实验中的应用袁�媛�李文娜�高永昌(河北师范大学物理科学与信息工程学院�河北石家庄�050016)1�问题的提出某省27届物理竞赛复赛实验题是一道研究音叉频率及振动波长与受力关系的问题.提供的实验器材有音叉、细绳(线密度�已知)、5个质量已知的砝码、1个质量已知的钩码、1个定滑轮、1个卷尺.一般学生通过实验器材都会联想到用驻波的方法进行解答,将细绳一端固定在音叉上,另一端通过定滑轮与钩码相连,音叉振动时通过调节音叉与定滑轮之间的距离形成2个以上的稳定驻波,测量驻波的个数n和长度L,可计算得知振动波长�=2Ln.进而,利用关系式v=T�(波的相位传播速度或能量传播速度决定于介质,若介�50�2011年4月���������������������������������Vol.29�No.07��中学物理质是绳则v和T满足该关系式)可得到音叉的频率f(f=v�)与T的关系式f=1�T�,测量多组数据,即可求得�f.接着,题目要求在上述工作的基础上,利用作图法和最小二乘法线性拟合研究振动波长与受力的关系,并求得回归拟合线的斜率b1、纵轴截距b2及相关系数r.通过作图法寻找�与T的关系,参赛者一般都能顺利完成.由关系式�=1fT�两边求对数可得关系式lg�=12lgT-12lg�-lgf,lg�,lgT分别相当于y、x.多次改变T值,可测得相应的�值,在坐标纸上描点作lg�-lgT图,绘制出图线的走向,可知b1、b2.但由于中学物理实验较少使用最小二乘法进行数据处理,所以大多参赛者在此遇到困难.其实,最小二乘法是物理实验中常用的数据处理方法,当实验数据一般是离散数据点,任何实验都不可能覆盖所有可能的数据点,且数据呈现线性特征时,用最小二乘法进行线性回归是最好的选择.2�最小二乘法线性回归其实最小二乘法高中生并不陌生,高中数学新课标对此有明确的内容标准.在必修3的�统计�主题下的第3个二级主题�变量的相关性�明确要求学生:经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.描述这条回归直线的方程叫回归方程.求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画�从整体上看,各点与此直线的距离最小�.人们经过长期的实践与研究,得出了计算回归方程的斜率与截距的公式(1)、(2).使得样本数据点到回归直线的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法.通常将作图法与最小二乘法配合使用,作图法简便直观,...